2018年数学（选修2-2）练习432函数的极大值和极小值活页作业8.doc

活页作业(八)函数的极大值和极小值

1．函数f(x)的定义域为R，导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()

A．无极大值点，有四个极小值点

B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点

D．有四个极大值点，无极小值点

解析：设f′(x)的图象与x轴的交点坐标从左往右依次为(x1,0)，(x2,0)，(x3,0)，(x4,0)，则当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

x

(－∞，x1)

(x1，x2)

(x2，x3)

(x3，x4)

(x4，＋∞)

f′(x)

＋

－

＋

－

＋

f(x)











故f(x)有两个极大值点，两个极小值点．

答案：C

2．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有()

A．a＝－2，b＝4 B．a＝－3，b＝－24

C．a＝1，b＝3 D．a＝2，b＝－4

解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有－2和4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根．∴有－eq\f(2a,3)＝－2＋4，eq\f(b,3)＝－2×4.解得a＝－3，b＝－24.

答案：B

3．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则y的极值情况是()

A．有极小值 B．有极大值

C．既有极大值又有极小值 D．无极值

解析：由y＝x－ln(1＋x2)，得

y′＝1－eq\f(2x,1＋x2)＝eq\f(?x－1?2,1＋x2)≥0.故函数无极值．

答案：D

4．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()

A．a－3 B．a－3

C．a－eq\f(1,3) D．a－eq\f(1,3)

解析：令y′＝aeax＋3＝0，得eax＝－eq\f(3,a).设x0为大于0的极值点，∴eax0＝－eq\f(3,a)＞0.

∴a0，ax00.

∴0eax01，即0－eq\f(3,a)1.∴a－3.

答案：B

5．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间为()

A．(2,3) B．(3，＋∞)

C．(2，＋∞) D．(－∞，3)

解析：∵y＝2x3＋ax2＋36x－24，

∴y′＝6x2＋2ax＋36.

∵函数在x＝2处有极值，

∴当x＝2时，y′＝0.

∴6×22＋2a×

∴a＝－15.

∴y＝2x3－15x2＋36x－24.

∴y′＝6x2－30x＋36.

令y′＝0，得6x2－30x＋36＝0.

∴x1＝2，x2＝3.

∴当y′0时，x2或x3.

∴函数的单调递增区间为(－∞，2)和(3，＋∞)．

答案：B

6．函数f(x)＝x3－3x2，给出下列说法：

①f(x)是增函数，无极值；

②f(x)是减函数，无极值；

③f(x)的单调递增区间是(－∞，0]和[2，＋∞)，单调递减区间是[0,2]；

④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．

其中正确的序号是____________.

解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．

令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：

x

(－∞，0)

0

(0,2)

2

(2，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)



极大值



极小值



由上表可以清晰地看出，f(x)在(－∞，0]和[2，＋∞)上是递增的，在[0,2]上是递减的，且f(x)的极值情况如下：f(x)极大值＝f(0)＝0，f(x)极小值＝f(2)＝－4.可知③④是正确的．

答案：③④

7．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于____________.

解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4.容易得出当x＝4时函数取得极大值．∴－43＋6×42＋m＝13.解得m＝－19.

答案：－19

8．若函数y＝kx3－x2＋kx－4在R上无极值，则实数k的取值范围是__________________.

解析：y′＝3kx2－2x＋k.

函数在R上无极值，即y′≥0或y′≤0恒成立．

∴Δ≤0，即(－2)2－4k·3k≤0.

解得k≥eq\f(\r(3),3)或k≤－eq\f(\r(3),3).

答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))

9．求下列函数的极值：

(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；

(2)f(x)＝eq\f(lnx,x).

解：(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.

解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.

当