2018年数学（选修2-2）练习431利用导数研究函数的单调性（2）活页作业7.doc

活页作业(七)利用导数研究函数的单调性(2)

1．函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则a值为()

A．1 B．2

C．－6 D．－12

解析：f′(x)＝6x2＋2ax，依题意，得f′(2)＝24＋4a＝0.∴a

答案：C

2．若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2－ax在区间(1，＋∞)上是增函数，且在区间(1,2)上有零点，则实数a的取值范围是()

A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，3)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(10,3)))

C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，3)) D．(－∞，3]

解析：∵函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2－ax在区间(1，＋∞)上是增函数，

∴f′(x)＝x2＋2x－a≥0在区间(1，＋∞)上恒成立．

∴a≤x2＋2x，x∈(1，＋∞)恒成立．

∵当x1时，x2＋2x3，

∴a≤3.①

∵函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2－ax在区间(1，＋∞)上是增函数，且在区间(1,2)上有零点，

∴f(1)0，f(2)0.∴eq\f(4,3)aeq\f(10,3).②

由①②得，eq\f(4,3)a≤3.

答案：C

3．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2?x≥0?，,x3－?a－1?x＋a2－3a－4?x0?.))

在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是()

A．(－∞，1] B．[－1,1]

C．(－∞，1) D．[－1,4]

解析：若原函数在R上为增函数，则当x0时，f′(x)＝3x2－(a－1)≥0恒成立．因此有a≤1.还需注意函数在分段点处函数值的大小，应有a2－3a－4≤0.解得－1≤a≤4.综上－1≤a≤

答案：B

4．已知定义在R上的偶函数f(x)满足x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)0成立，若a＝20.2f(20.2)，b＝ln2·f(ln2)，c＝log0.50.25·f(log0.50.25)，则a，b，

A．abc B．cab

C．bac D．acb

解析：构造函数h(x)＝xf(x)，由函数y＝f(x)是R上的偶函数，函数y＝x是R上的奇函数可得h(x)＝xf(x)是R上的奇函数．又当x∈(－∞，0)时，h′(x)＝f(x)＋xf′(x)0，∴函数h(x)在x∈(－∞，0)上单调递减．∴h(x)在x∈(0，＋∞)上单调递减．∵220.21,0ln21，log0.50.25＝2，∴log0.50.2520.2ln

∴bac.

答案：C

5．设p：函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥eq\f(4,3)，则p是q的()

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

解析：对于p，由题意知f′(x)＝3x2＋4x＋m≥0在R上恒成立，即Δ≤0.∴4－3m≤0.∴m≥eq\f(4,3).又当m＝eq\f(4,3)时，f(x)＝x3＋2x2＋eq\f(4,3)x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,3)))3＋eq\f(19,27)在R上单调递增，故m≥eq\f(4,3).∴p是q的充要条件．

答案：A

6．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的递减区间为[－1,2]，则b＝____________，c＝____________.

解析：由题意知，f′(x)＝3x2＋2bx＋c≤0在[－1,2]上恒成立，∴－1,2为方程3x2＋2bx＋c＝0的两根．故b＝－eq\f(3,2)，c＝－6.

答案：－eq\f(3,2)－6

7．若函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是____________.

解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，又f(x)有三个单调区间，

∴方程3ax2＋1＝0有两个不等实根．

∴Δ＝0－4·3a·10.解得a

答案：(－∞，0)

8．已知函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是____________.

解析：由题意得f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，因此a≤3.故a的最大值为3.

答案：3

9．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(a,x)(a0)，设F(x)＝f(x)＋g(x)．

(1)求函数F(x)的单调区间．

(2)若以函数y＝F(x)(x∈(0,3])图象上任意一点P(x0，y0)为切点的切线的斜率k≤eq\f