2018年数学（选修1-2）练习522间接证明反证法活页作业9.doc

活页作业(九)间接证明：反证法

1．对反证法的理解，下列说法错误的是()

A．命题条件不变，先假定结论错误，再推出矛盾

B．要证“若p则q”，只需假设q的否定为真，再推出矛盾

C．要证“若p则q”，只需证“若q的否定正确则p的否定正确”

D．要证一个命题为真，只需证其否命题为假

解析选项A，B，C均正确，用反证法证明命题时，是证明其否定为假，而D为证其否命题为假，故错误．

答案：D

2．用反证法证明命题：“若a，b，c为不全相等的实数，且a＋b＋c＝0，则a，b，c至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是()

A．a，b，c都大于0

B．a，b，c都是非负数

C．a，b，c至多两个负数

D．a，b，c至多一个负数

解析“a，b，c中至少有一个负数”的否定为“a，b，c都是非负数”．由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c都是非负数”．

答案：B

3．用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时，首先要作出的假设是()

A．四个内角都大于90°

B．四个内角中有一个大于90°

C．四个内角都小于90°

D．四个内角中有一个小于90°

解析用反证法证明“凸四边形的四个内角中至少有一个不小于90°”时，首先要作出的假设是“凸四边形的四个内角中没有一个不小于90°”，即“凸四边形的四个内角都小于90°”．

答案：C

4．设a，b，c为正数，p＝a＋eq\f(1,b)，q＝b＋eq\f(1,c)，r＝c＋eq\f(1,a)，则下列说法正确的是()

A．p，q，r都不大于2

B．p，q，r都不小于2

C．p，q，r至少有一个不小于2

D．p，q，r至少有一个不大于2

解析(反证法)假设p，q，r三个数均小于2，

即p＜2，q＜2，r＜2.

则p＋q＋r＜6.①

又p＋q＋r＝a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥2eq\r(a·\f(1,a))＋2eq\r(b·\f(1,b))＋2eq\r(c·\f(1,c))＝6.

即p＋q＋r≥6②，

∴①②矛盾，假设不成立．

∴p，q，r三个数至少有一个不小于2.

答案：C

5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．

②所以一个三角形不能有两个直角．

③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.

上述步骤的正确顺序为________.

解析由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.

答案：③①②

6．用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的假设为________________.

解析由结论为：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”，可得反设的内容是假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数．

答案：a，b，c都是奇数或至少有两个偶数

7．如图，在正方体ABCD_A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线

证明：假设直线BM与A1N共面．

则A1D1?平面A1BND1，

且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN.

由正方体特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN.

又A1D1∥BC，所以BN∥BC．

这与BN∩BC＝B矛盾，故假设不成立．

所以直线BM与直线A1N是两条异面直线．

8．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.

(1)若a＋b≥0，求证：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．

(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．

证明：(1)∵a＋b≥0，∴a≥－b.

∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，

∴f(a)≥f(－b)．

同理可得f(b)≥f(－a)．

两式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．

(2)逆命题：

若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

用反证法证明：

假设a＋b＜0，

那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＜0?a＜－b?f?a?＜f?－b?，,a＋b＜0?b＜－a?f?b?＜f?－a?.))

所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．

这与f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾．

故a＋b≥0.逆命题得证．

1．要证明不等式eq\r(3)＋eq\r(7)＜2eq\r(5)，