2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)模拟卷01(全国高中数学联赛)(学生版+解析).docxVIP

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2025年全国高中数学联合竞赛

一试全真模拟试题1

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1．已知函数是定义在上的偶函数，则的值为．

2．若关于z的复系数一元二次方程的一个根为，则另一个根．

3．设数列的通项公式为，其中表示不超过x的最大整数，则的前32项和为．

4．已知向量均为单位向量，则的最小值为．

5．在梯形ABCD中，，M为CD边的中点，动点P在BC边上，与的外接圆交于点Q（异于点），则BQ的最小值为．

6．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，过的右焦点F且斜率为3的直线与交于两点，与的渐近线交于两点．若，则．

7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为，则该圆台体积的取值范围是．

8．用表示11元集合的三元子集的全体．对中任意一个三元子集，定义，则的值为．

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本题满分16分）已知，二次函数存在零点，求的最小值．

10．（本题满分20分）在中，．在AB边上取五等分点，其中顺次排列．记，求的值．

11．（本题满分20分）已知A是抛物线上一点（异于原点），斜率为的直线与抛物线恰有一个公共点A（与x轴不平行），斜率为的直线与抛物线交于两点．若是正三角形，求的取值范围．

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2025年全国高中数学联合竞赛

一试全真模拟试题1参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1．已知函数是定义在上的偶函数，则的值为．

答案：0．

解：由于是偶函数，故，所以

．

2．若关于z的复系数一元二次方程的一个根为，则另一个根．

答案：．

解：由题意得，解得．因此，所以．

3．设数列的通项公式为，其中表示不超过x的最大整数，则的前32项和为．

答案：631．

解：事实上，．而当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，因此的前32项和为

．

4．已知向量均为单位向量，则的最小值为．

答案：2．

解：设向量的夹角为，其中，则

．

令，则．因此在单调递减，单调递增，所以的最小值为．

因此的最小值为2，此时．

5．在梯形ABCD中，，M为CD边的中点，动点P在BC边上，与的外接圆交于点（异于点），则BQ的最小值为．

答案：．

解：由熟知的结论，的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点，故点Q在的外接圆上，如图所示．

而是直角三角形，故其外接圆半径．在中，由余弦定理，，所以BQ的最小值为，此时P在线段BC上，且．

6．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，过的右焦点F且斜率为3的直线与交于两点，与的渐近线交于两点．若，则．

答案：．

7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为，则该圆台体积的取值范围是．

答案：．

解：设圆台上底面为圆，半径为，下底面为圆，半径为，圆台母线为．

由圆台的侧面积为可得，故①．

由侧面展开是圆心角为的扇形所截得的扇环，可得，故②．

因此圆台的高，圆台的体积

．

结合①②可得．由于，故．令，则，进而可得．

令，则．因此在上单调递增，故．所以，即圆台体积的取值范围是．

8．用表示11元集合的三元子集的全体．对中任意一个三元子集，定义，则的值为．

答案：990．

解：不妨将集合A视为（这是因为，将“2024”改成“11”不影响每个的值）．

对每个，定义，则，且．

由于当T遍历的所有三元子集时，也遍历的所有三元子集，所以

．

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本题满分16分）已知，二次函数存在零点，求的最小值．

解：令，则且．

由题意得，即，故．考虑，则在上单调递增．所以

，

当时等号成立．因此的最小值为．

10．（本题满分20分）在中，．在AB边上取五等分点（顺次排列）．记，求的值．

解：在AB延长线上任取一点，记，则所求式子即为．

为方便，记．作于