2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)模拟卷03(全国高中数学联赛)(学生版+解析).docxVIP

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2025年全国高中数学联合竞赛

一试全真模拟试题3

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1．记等差数列的公差为，前n项和为，若，则的值为．

2．已知，则的最小值为．

3．已知是函数在上的两个零点，则的值为．

4．在平面四边形ABCD中，，则的值为．

5．设椭圆的左、右焦点分别为，A是上的一点，满足，则的面积为．

6．给定集合，任取有序数组，事件“”发生的概率为．

7．已知三个复数的模相等，且，其中，则的值为．

8．已知四面体ABCD各顶点都在半径为3的球面上，平面平面，直线AD与BC所成的角为，则该四面体体积的最大值为．

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9.（本题满分16分）已知的内角满足

，

求C的最大值．

10．（本题满分20分）在平面直角坐标系中，已知双曲线

的左焦点为，过的直线l与交于两点．

若，求的离心率e的取值范围．

11.（本题满分20分）求所有满足下述条件的正整数：存在互不相同的整数和，使得对于所有的，都有

．

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一试全真模拟试题3参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1．记等差数列的公差为，前n项和为，若，则的值为．

答案：．

解：由得，故

．

2．已知，则的最小值为．

答案：．

解：由于，当时等号成立，因此的最小值为．

3．已知是函数在上的两个零点，则的值为．

答案：．

解：由得，故是在上的两个根．因此，即．所以

．

4．在平面四边形ABCD中，，则的值为．

答案：．

解：设，则

．

5．设椭圆的左、右焦点分别为，A是上的一点，满足，则的面积为．

答案：．

解：设，则．

在中，由余弦定理得

，

解得．

所以．

6．给定集合，任取有序数组，事件“”发生的概率为．

答案：．

解：由得，即

．

所以或或．

情况一：及其轮换．

情况一：及其轮换．

由题意，，故k可取，共20种选择，此外各自包括3种轮换方式．

所以情况一、二共有种有序数组满足．因此所求概率．

7．已知三个复数的模相等，且，其中，则的值为．

答案：．

解：设，其中．已知条件化为

解得，即．

设，由于。故

，

又，得．

注意到，所以．

8．已知四面体ABCD各顶点都在半径为3的球面上，平面平面，直线AD与BC所成的角为，则该四面体体积的最大值为．

答案：．

解：由题设条件知，A和D在BC上的射影为同一点，记该点为，则四面体ABCD的体积．

当平面ABC和平面BCD固定时，和DH同时达到最大值，取到最大值时H为BC中点，和都是以BC为底的等腰三角形．

设球心O到平面ABC和平面BCD的距离分别为，，则由勾股定理得，且．所以由基本不等式，

．

，时等号成立．

设，则，令，解得，因此的最大值为，所以V的最大值为．

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9.（本题满分16分）已知的内角满足

，

求C的最大值．

解：由题设知，故．

在中，，因此，故由正弦定理知，其中分别为内角所对的边．

所以由余弦定理和基本不等式得

．

当，即时等号成立．因此C的最大值为．

10．（本题满分20分）在平面直角坐标系中，已知双曲线

的左焦点为，过的直线l与交于两点．

若，求的离心率e的取值范围．

解：设，l的方程为．将直线l与的方程联立，得

．

上述方程有两个不等实根，因此，即．而判别式恒成立．又由韦达定理，可得

．

因为，所以，即，

代入并化简得．

因此，即，解得．

另一方面，，化简得，所以．

综上所述，e的取值范围是．

11.（本题满分20分）求所有满足下述条件的正整数：存在互不相同的整数和，使得对于所有的，都有

．

解：当时，取即可．

当时，取即可．

当时，设，则方程有个根．因此，即

．①

比较①两边的常数项