2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)专题06向量(学生版+解析).docxVIP

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划

专题6向量

全国联赛真题汇编

1．（2023·全国联赛A卷）若平面上非零向量α,β,γ满足α⊥

2．（2023·全国联赛B卷）平面上五点A,B,C,D,E满足

3．（2022·全国联赛A1卷）若ΔABC满足∠A3=∠B

各省预赛试题汇编

4．（2024·吉林预赛）在四边形ABCD中，AB//CD，设AC=λAB+μAD(λ,μ∈R)．若λ+μ=3

A．13 B．12 C．1

5．（2023·吉林预赛）已知等腰梯形ABCD中，AD//BC,BC=2AD

A．?212 B．-10 C．?192

6．（2022·吉林预赛）在△ABC中，若AB=2,AC=3,BC=4,

A．910 B．710 C．89

7．（2024·贵州预赛）已知△ABC的外心为O,AB=AC=8,AO=

8．（2024·福建预赛）在△ABC中，已知AB=4,BC=2,AC=

9．（2024·浙江预赛）已知平面上单位向量a,b垂直，c为任意单位向量，且存在t∈0,1，使得向量a+1?tb与向量

10．（2024·内蒙古预赛）已知在△ABC中BC=3，A=π3，BD=1

11．（2024·新疆预赛）在空间四边形ABCD中，AB=2,BC

12．（2024·上海预赛）已知a,b,c是同一平面上的3个向量，满足a=3,b=22,a?

13．（2024·重庆预赛）在△ABC中，已知AB?AC=2BC?

14．（2023·北京预赛）已知向量a=1,b=2，且a,b的夹角为120°．若

15．（2023·福建预赛）在锐角△ABC中，∠CAB=60°,BC=2,D

16．（2023·贵州预赛）已知a,b是单位向量，3a+4b=4

17．（2023·山东预赛）设△ABC的内心为I，且满足2IA+5IB

18．（2023·四川预赛）设平面向量a,b满足：a=1,b=2,a⊥b

19．（2023·新疆预赛）在△ABC中，M,N分别是线段AB,AC上的点，且AM=12AB,AN

20．（2023·浙江预赛）设a,b为两个垂直的平面向量，且a=2b=10．当0≤t≤1时，

21．（2022·四川预赛）已知平面向量a,b满足：a=1,b=2,a?b

22．（2022·浙江预赛）平面向量a,b,c满足a=

23．（2022·福建预赛）如图，点M,N分别在△ABC的边AB,AC上，且AM=xAB,AN=yAC,D为线段BC的中点

24．（2022·苏州预赛）已知△ABC的外心为O，且3OA+4OB

25．（2022·贵州预赛）甲烷分子CH4的四个氢原子位于棱长为1的正四面体的四个顶点，碳原子C位于正四面体的中心C0，记四个氢原子分别为H1,

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专题6向量

全国联赛真题汇编

1．（2023·全国联赛A卷）若平面上非零向量α,β,γ满足α⊥

【答案】2

【详解】由α⊥β，不妨设α=a,0,β=0,b，其中a,b

所以γ=

取a=3,b=2

2．（2023·全国联赛B卷）平面上五点A,B,C,D,E满足

【答案】3

【详解】记EB=b,EC=

EA

=

=

=

3．（2022·全国联赛A1卷）若ΔABC满足∠A3=∠B

【答案】3

【详解】由条件知A=45

AB

各省预赛试题汇编

4．（2024·吉林预赛）在四边形ABCD中，AB//CD，设AC=λAB+μAD(λ,μ∈R)．若λ+μ=3

A．13 B．12 C．1

【答案】B

【详解】如图所示，

过C作CE//AD，又CD//AB，∴四边形AECD是平行四边形．

∴AC=AE+AD

又λ+μ=32,∴λ=

5．（2023·吉林预赛）已知等腰梯形ABCD中，AD//BC,BC=2AD

A．?212 B．-10 C．?192

【答案】B

【详解】如图，设BC的中点为F，则AD=//

于是BE=

CA=

从而CA?

故选B．

6．（2022·吉林预赛）在△ABC中，若AB=2,AC=3,BC=4,

A．910 B．710 C．89

【答案】D

【详解】延长AO交BC于D，则BD=

而BD=

于是AO=59AB

7．（2024·贵州预赛）已知△ABC的外心为O,AB=AC=8,AO=

【答案】2

【详解】依题意，AB=AC=

?

则y=

所以t24=

8．（2024·福建预赛）在△ABC中，已知AB=4,BC=2,AC=

【答案】5

【详解】如图，点P在以C为圆心，1为半径的圆上，且由极化恒等式，

PA

所以AP?BP

9．（2024·浙江预赛）已知平面上单位向量a,b垂直，c为任意单位向量，且存在t∈0,1，使得向量a+1?tb与向量

【答案】2

【详解】令a=0,1，b=1,0，

于是a