2024_2025年高中数学第一章导数及其应用1.1变化率问题一作业含解析新人教版选修2_2.docVIP

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函数的平均改变率

一、基础过关

1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ()

A．在[x0，x1]上的平均改变率

B．在x0处的改变率

C．在x1处的改变率

D．以上都不对

2．函数f(x)＝2x2－x在x＝2旁边的平均改变率是 ()

A．7 B．7＋Δx

C．7＋2Δx D．7＋2(Δx)2

3．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是()

A.eq\x\to(v)＝eq\f(s?t＋Δt?－s?t?,Δt) B.eq\x\to(v)＝eq\f(s?Δt?,Δt)

C.eq\x\to(v)＝eq\f(s?t?,t) D.eq\x\to(v)＝eq\f(s?t＋Δt?－s?Δt?,Δt)

4.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均改变率是 ()

A．1

B．－1

C．2

D．－2

5．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在[2,2.1]时间内的平均速度为 ()

A．0.41 B．3

C．4 D．4.1

6．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________.

二、实力提升

7．甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，则________跑得快．

8．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀

率为eq\f(28π,3)，则m的值为________．

9．在x＝1旁边，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝eq\f(1,x)中，平均改变率最大的是________．

10．求函数y＝sinx在0到eq\f(π,6)之间和eq\f(π,3)到eq\f(π,2)之间的平均改变率，并比较它们的大小．

11．求函数y＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均改变率．

12．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝eq\f(4,3)πr3.

(1)求半径r关于体积V的函数r(V)；

(2)比较体积V从0L增加到1L和从1L增加到2L半径r的平均改变率；哪段半径改变较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？

三、探究与拓展

13．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路途图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？

答案

1．A2．C3．A4．B5．D

6．2.1

7．乙

8．2

9．③

10．解在0到eq\f(π,6)之间的平均改变率为eq\f(sin\f(π,6)－sin0,\f(π,6)－0)＝eq\f(3,π)；

在eq\f(π,3)到eq\f(π,2)之间的平均改变率为

eq\f(sin\f(π,2)－sin\f(π,3),\f(π,2)－\f(π,3))＝eq\f(3?2－\r(3)?,π).

∵2－eq\r(3)1，∴eq\f(3,π)eq\f(3?2－\r(3)?,π).

∴函数y＝sinx在0到eq\f(π,6)之间的平均改变率为eq\f(3,π)，在eq\f(π,3)到eq\f(π,2)之间的平均改变率为eq\f(3?2－\r(3)?,π)，且在0到eq\f(π,6)之间的平均改变率较大．

11．解因为Δy＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，

所以函数在区间[2,2＋Δx]上的平均改变率为

eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－8Δx－2?Δx?2,Δx)＝－8－2Δx.

12．解(1)∵V＝eq\f(4,3)πr3，

∴r3＝eq\f(3V,4π)，r＝eq\r(3,\f(3V,4π))，

∴r(V)＝eq\r(3,\f(3V,4π)).

(2)函数r(V)在区间[0,1]上的平均改变率约为

eq\f(r?1?－r?0?,1－0)＝eq\f(\r(3,\f(3×1,4π))－0,1)≈0.62(dm/L)，

函数r(V)在区间[1,2]上的平均改变率约为

eq\f(r?2?－r?1?,2－1)＝eq\r(3,\f(3×2,4π))－eq\r(3,\f(3×1,4π))

≈0.16(dm/L)．

明显体积V从0L增加到1L时，半径改变快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越