高考数学（人教B理）一轮复习讲义第六章数列第1节.doc

第1节数列的概念及简单表示法

必威体育精装版考纲1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；

2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

知识梳理

1.数列的概念

(1)数列的定义：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N+(或它的有限子集)为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.

(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.

2.数列的分类

分类原则

类型

满足条件

按项数分类

有穷数列

项数有限

无穷数列

项数无限

按项与项间

的大小关系

分类

递增数列

an＋1＞an

其中n∈N+

递减数列

an＋1＜an

常数列

an＋1＝an

按其他

有界数列

存在正数M，使|an|≤M

标准分类

摆动数列

从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

3.数列的通项公式

(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

[常用结论与微点提醒]

1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))

2.在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))

若an最小，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()

(2)一个数列中的数是不可以重复的.()

(3)所有数列的第n项都能使用公式表达.()

(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.()

解析(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.

(2)数列中的数是可以重复的.

(3)不是所有的数列都有通项公式.

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

2.已知数列eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，eq\f(1,3×4)，…，eq\f(1,n（n＋1）)，…，下列各数中是此数列中的项的是()

A.eq\f(1,35) B.eq\f(1,42) C.eq\f(1,48) D.eq\f(1,54)

解析n＝6时，eq\f(1,6×（6＋1）)＝eq\f(1,42)为数列中的第6项.

答案B

3.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()

A.15 B.16 C.49 D.64

解析当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.

答案A

4.(教材习题原题改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.

解析由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳an＝5n－4.

答案5n－4

5.(2017·福州八中质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝aeq\o\al(2,n)－2an＋1(n∈N+)，则a2018＝________.

解析∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2018＝a2＝0.

答案0

考点一由数列的前几项求数列的通项

【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1)eq\f(2,3)，eq\f(4,15)，eq\f(6,35)，eq\f(8,63)，eq\f(10,99)，…；

(2)－1，7，－13，19，…；

(3)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，…；

(4)5，55，555，5555，….

解(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为an＝eq\f(2n,（2n－1）（2n＋1）).

(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个