2024年新教材高中数学第八章立体几何初步2立体图形的直观图学案新人教A版必修第二册.docVIP

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立体图形的直观图

美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系．

【问题1】从一个点看一个平面图形，看到的图形和原来的图形完全一样吗？

【问题2】怎样画出水平放置的平面图形的直观图？

【问题3】怎样画出空间图形的直观图？

1．直观图

视察者站在某一点视察一个空间几何体获得的图形．

2．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的画法

用斜二测画法画出的平面图形的直观图是一样的吗？

提示：不肯定，假如建立坐标轴不同，作出的直观图不肯定相同．

3．空间几何体直观图的画法

(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．

(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．

(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．

(4)成图：去掉协助线，将被遮挡的部分改为虚线．

本质：把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示．立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形．

1．相等的角在直观图中仍旧相等吗？

2．垂直的线段在直观图中还垂直吗？

3．菱形的直观图是什么图形？

提示：1.不肯定相等.2.不肯定垂直.3.平行四边形．

视察教材图8.2－4，线段A′F′与C′D′，A′B′与E′D′，B′C′与F′E′分别是什么关系？

提示：相等且平行．

1．长方形的直观图可能为下图中的哪一个()

A．①②B．①②③

C．②⑤D．③④⑤

【解析】选C.由斜二测画法知，平行线依旧平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确．

2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴，y轴，则在直观图中，∠A′＝________．

【解析】因为∠A的两边平行于x轴，y轴，

故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，

即∠A′＝45°或135°.

答案：45°或135°

基础类型一画水平放置的平面图形的直观图(直观想象)

1．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的()

【解析】选C.直观图中有两边分别与坐标轴平行，所以原图中这两边必垂直，符合条件的只有C.

2．用斜二测画法画出图中正五边形ABCDE的直观图．

【解析】画法：(1)在下图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.

(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.

(3)在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝eq\f(1,2)GA，H′D′＝eq\f(1,2)HD；

(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去协助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).

关于斜二测画法作图

(1)首先在原图中建立直角坐标系，一般采纳对称建系，或尽可能将图形中的边、顶点落在坐标轴上．

(2)建立斜二测坐标系，先作坐标轴上的点、与坐标轴平行的线段，原则是“横不变，纵减半”．

(3)对于不与坐标轴平行的线段，可通过在原图中作协助线的方法确定在直观图中的位置．

基础类型二画立体图形的直观图(空间想象)

【典例】画出正四棱锥的直观图．

【解析】(1)画轴．画x轴，y轴，z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图①.

(2)画底面．以O为中心在xOy平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD.

(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．

(4)成图．连接PA，PB，PC，PD，并擦去协助线，得四棱锥的直观图如图②.

【备选例题】

作出正三棱柱的直观图．

【解析】(1)画轴．如图①，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画底面．作水平放置的等边三角形(俯视图)的直观图△ABC.

(3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′，如图①.

(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去协助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图，如图②.

关于立体图形直观图的画法

画立体图形的直观图时，先画出水平放置的底面的直观图，再在坐标系的原点处画出z轴，并确定竖直方向上的顶点，将顶点