2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)模拟卷04(全国高中数学联赛)(学生版+解析).docxVIP

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2025年全国高中数学联合竞赛

一试全真模拟试题4

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1．已知是的两个不交子集，满足：若，则．

那么A中元素个数的最大值为．

2．方程的所有实数解为．

3．设复数z满足，则的实部的取值范围是．

4．若存在实数，使得函数的图象关于直线对称，则的最小值为．

5．已知椭圆的中心为，点在上，是以半焦距为边长的正三角形，则的离心率为．

6．设向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是．

7．在三棱锥中，，且，则二面角的余弦值的最小值为．

8．设l为某正方体的一条体对角线，S为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集．若从S中任选两点连成线段，则与l垂直的线段数目为．

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本题满分16分）已知函数，等差数列的前n项和为，记．

(1)若是某三角形的三个内角，求的取值范围；

(2)证明：若，则．

10.（本题满分20分）已知抛物线与双曲线的公切线与分别交于点，与交于点．求的面积．

11.（本题满分20分）设数列满足，且

．

已知数列的通项公式为，若数列为等差数列，求的所有可能值及相应的值．

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一试全真模拟试题4参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1．已知是的两个不交子集，满足：若，则．

那么A中元素个数的最大值为．

答案：．

解：由，得．若．则，从而A中至多有个元素．又注意到符合条件，故所求最大值为．

2．方程的所有正实数解为．

答案：．

解：原方程可化为．

显然函数在上单调递增，而，因此原方程只有一个正实数解．

3．设复数z满足，则的实部的取值范围是．

答案：．

解：设，则，故．所以

．

4．若存在实数，使得函数的图象关于直线对称，则的最小值为．

答案：16．

解：由二项式定理，．

因为的定义域为，故其图象如果关于直线对称，只能有，即是偶函数．

因此有和x前的系数均为，从而，．由对勾函数的性质可知，当且仅当时，取到最小值．

5．已知椭圆的中心为，点在上，是以半焦距为边长的正三角形，则的离心率为．

答案：或．

解：不妨设，其中短半轴，半焦距．由椭圆的性质易知点关于x轴或y轴对称．

若关于x轴对称，不妨设A在第一象限，则OA的方程是．与的方程联立得．结合条件知，得．故离心率．

若关于y轴对称，不妨设A在第二象限，则OA的方程是．与的方程联立得．结合条件知，得．故离心率．

综上所述，离心率或．

6．设向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是．

答案：．

解：如图，设，，则，，故，而，故在的外接圆上运动变化（沿弧），外接圆的半径为．

取的中点为，连接，则，故，故．

7．在三棱锥中，，且，则二面角的余弦值的最小值为．

答案：．

解：因为，所以点P的轨迹方程为（椭球），又因为，所以点的轨迹方程为（双曲线的一支）．

过点P作，而平面，所以平面．

??

设AB的中点为，则二面角的平面角为．

设，则．所以

．

因此．令，则

，

等号成立当且仅当．

所以二面角的余弦值的最小值为．

8．设l为某正方体的一条体对角线，S为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集．若从S中任选两点连成线段，则与l垂直的线段数目为．

答案：．

解：以正方体的中心为原点建立空间直角坐标系，并不妨设正方体的边长为2．则．

设l的方向向量为，．由得

．

设．

由对称性，只需考虑的情形．

当时，．

当时，．

当时，

．

综上所述，满足条件的线段的条数为当时，．

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本题满分16分）已知函数，等差数列的前n项和为，记

．

(1)若是某三角形的三个内角，求的取值范围；

(2)证明：若，则．

解：(1)由于且是等差数列，所以．因此

．

不妨设，则，所以，故