2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)专题14不等式(上)(学生版+解析).docxVIP

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划

专题14不等式（上）

全国联赛真题汇编

1．（2024·全国联赛B卷）设a,b为实数，若一元二次不等式x2+bax的解集为(1

2．（2022·全国联赛B卷）不等式20x?

各省预赛试题汇编

3．（2024·广东预赛）已知m,a,b,c是正整数，且

4．（2024·贵州预赛）设2x+y?5z

5．（2024·四川预赛）已知ab1，若logab+logba=

6．（2024·北京预赛）对于c0，若非零实数a，b满足4a2?2ab+4b2

7．（2024·福建预赛）对于实数x,y,z，记max{x,y,z}为x,y,z中的最大者，例如

8．（2024·福建预赛）若x1,x2,?,x100是

9．（2024·江西预赛）正实数x,y,z满足x+

10．（2024·浙江预赛）设实数a,b,c∈0,2，且b≥3a或a+b≤43，则max

11．（2024·广西预赛）若正实数x，y满足x?2y=2x?y，则x

12．（2024·内蒙古预赛）设a，b，c是实数，满足a+b+c=1，a2+b2+c2

13．（2024·上海预赛）若正实数a,b满足ab=2a+b，则a+2b的最小值是．

14．（2023·福建预赛）若正实数a1,a

则a1a

15．（2023·广西预赛）设n,m为正整数，对任意充分小的正数a，若nm是1na的一个充分必要条件，则

16．（2024·上海预赛）若3个整数a,b,c满足a2+b2+c

17．（2023·吉林预赛）若不等式ab+b2+c2≥λa+

18．（2023·内蒙古预赛）若a0,b0，且

19．（2023·内蒙古预赛）log4x+2y+

20．（2023·山东预赛）已知x,y,z

21．（2023·上海预赛）给定正实数k，对任意正实数a,b，记m=mina,bka2+b

22．（2023·浙江预赛）已知m,n,k为正整数，若存在正整数对(

1

则m+n

23．（2023·浙江预赛）设n个正数a1,a

a

中的最大值，则M的最小可能值为_____．

24．（2023·重庆预赛）若实数x,y满足4x2?

25．（2022·重庆预赛）若不等式x+y≤k5x+y对任意正实数

26．（2022·广西预赛）设n为正整数，若nm≥mn对所有正整数m成立，

27．（2022·四川预赛）已知实数x,y满足xx+y

29．（2022·江西预赛）若x,y,z∈R+，

30．（2022·福建预赛）已知α,β,γ∈0,π

31．（2022·苏州预赛）已知正实数a,b,c满足2a+b=

32．（2022·北京预赛）已知x,y,

x

的最小值写成最简分数后的分子分母之和为_____．

33．（2022·北京预赛）对实数x1,

f

的最小值的最大整数为_____．

33．（2022·广西预赛）已知x,y,z都是正数

求证：xy

34．（2022·新疆预赛）(1)若实数x,y,z满足x2

(2)若2023个实数x1,x

求x1?

35．（2022·四川预赛）对任意正实数a,b,c及任意正实数

a

36．（2022·江西预赛）设x,y,z为正实数，满足xyz=

27．（2022·福建预赛）如果对于任意的整数x,y，不等式4x2+

37．（2022·贵州预赛）正数a,b满足a+b=

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专题14不等式（上）

全国联赛真题汇编

1．（2024·全国联赛B卷）设a,b为实数，若一元二次不等式x2+bax的解集为(1

【答案】?∞,?

【解析】x2+bax?x2?ax

2．（2022·全国联赛B卷）不等式20x?

【答案】?∞,?

【详解】移项通分可得20x?11?22x?

根为1，5，由韦达定理得a=6,b=5．

各省预赛试题汇编

3．（2024·广东预赛）已知m,a,b,c是正整数，且

【答案】6102

【详解】a

则2,3,5

于是2a

所以m+a+

4．（2024·贵州预赛）设2x+y?5z

【答案】2

【详解】由柯西不等式得x

?x2+y

所以x2+y

5．（2024·四川预赛）已知ab1，若logab+logba=

【答案】1

【详解】因为logab+log

所以2(loga

解得logab=2或

因为ab1，所以0log

所以logab=1

所以ba+4

当且仅当b=4b，即

所以ba+4的最大值为1

6．（2024·北京预赛）对于c0，若非零实数a，b满足4a2?2ab+4b2

【答案】?5

【详解】因为4a2?2ab+4

由柯西不等式得，a?b

当2a+b最大时，有a?b42=15

所以3a

当1b=5，即b=1

7．（2024·福建预赛）对于实数x,y,z，记max{x,y,z}为x,y,z中的最大者，例如

【答案】36

【