2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)专题14不等式(下)(学生版+解析).docxVIP

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专题14不等式（下）

全国联赛真题汇编

1．（2023·全国联赛A卷）设a=1+10?4．在2023×2023的方格表的每个小方格中填入区间1,a中的一个实数．设第i行的总和为xi，第i列的总和为yi

2．（2023·全国联赛B卷）是否存在2023个实数a1,

1

证明你的结论．

3．（2022·全国联赛A卷）设a1,a2

(1)存在正整数k≤100，使得a1≤a2

(2)a1

(3)a1

求a1+

4．（2022·全国联赛A1卷）设实数a,b,c

a

记P=a?bb

5．（2022·全国联赛A2卷）对于和为1的九个非负实数a1,

S

T

这里，min{x,y}表示x,y中的较小者

记S的最大可能值为S0．当S=S0时，

6．（2022·全国联赛B卷）给定正实数a,b,a

x

的最大值．

7．（2022·全国联赛B1卷）对任意三个两两不同的非负实数a,b

S

并设Sa,b

(1)证明：当a,b,c

(2)求所有非负实数组x,y,z

各省预赛试题汇编

8．（2024·贵州预赛）求函数fx=

9．（2024·四川预赛）设复数x,y,z满足：x+2y+3z=1．求x

10．（2024·北京预赛）设a,b,c是三个正数，求证：

2a

11．（2024·福建预赛）已知非负实数a,b,c

a

12．（2024·江西预赛）实数a,b,c满足ab+

13．（2024·新疆预赛）设x,y,z∈

14．（2023·北京预赛）已知实数a1,a2,?,an

15．（2023·东莞预赛）已知正数a,b,c

M

的最小值．

16．（2023·福建预赛）若不等式120a+23b+123a+20b

17．（2023·广西预赛）设函数fx在区间I上有定义．若fαx1+1?αx2≤αfx1+1?αf

设p

利用上述相关知识证明：

(1)(Young不等式)1p

(2)(H?lder不等式)k=

18．（2023·江西预赛）设a≥c,b≥c,

19．（2023·山东预赛）已知a,b,c为正实数．

20．（2023·四川预赛）给定正整数nn≥2．已知2n个正实数a

k

求S=k=12n

21．（2023·浙江预赛）设整数n≥2，对于{1,2,?,n}的任一排列σ=σ1,σ2

22．（2023·重庆预赛）设x,y,z≥0，且x+y+

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划

专题14不等式（下）

全国联赛真题汇编

1．（2023·全国联赛A卷）设a=1+10?4．在2023×2023的方格表的每个小方格中填入区间1,a中的一个实数．设第i行的总和为xi，第i

【答案】1011a

【详解】记n=2023，设方格表为

第一步：改变某个aij的值仅改变xi和yj，设第i行中除aij外其余n?1个数的和为A，第j列中除a

y

当A≥B时，关于aij递增，此时可将aij调整到a,λ值不减．当A≤B时，关于aij递减，此时可将aij调整到1,λ

第二步：设aij∈{1,a},1≤i,j≤n，

aij

事实上，若xiyj，而aij=1，则将aij

y

与λ达到最大矛盾，故aij

若xi≤yj，而aij=a，则将aij改为1后，λ不减，且i

通过交换列，可不妨设y1≤y2≤?≤yn，这样由(*)可知每一行中a排在1的左边，每一行中的数从左至右单调不增．由此可知y1

第三步：由第二步可知求λ的最大值，可以假定每一行中的数全相等．设有k行全为a，有n?k行全为1

λ

我们只需求λ0,

λ

因此

λ

?

?

?

=

记上式右边为y，则y=

下面证明y∈

首先证明y

y

?

由于1x

k

再证明y1010，等价于证明

由于

k

1010

只需证明10112023a

由上面的推导可知λk+1≥λk当且仅当k≤

λ

2．（2023·全国联赛B卷）是否存在2023个实数a1,

1

证明你的结论．

【答案】不存在

【详解】记S=

假设存在a1,a2

不妨设0a1≤a2≤?≤a2023≤

S

当1≤k≤

2k

当1012≤k≤2023时，由于fk

2k

从而

S

=

注意到2024?2k

S

这意味者不存在a1,

3．（2022·全国联赛A卷）设a1,a2

(1)存在正整数k≤100，使得a1≤a2

(2)a1

(3)a1

求a1+

【答案】40940

【详解】解法1：当a1=a2=?=a18

i

下面证明这是最小可能值．

首先注意k≥21．否则，若k≤20，则

根据条件(2)、(3)，有

i

当a20≤

i

故

i

当a20≥41时，由k≥

i

=

≥

综上，所求最小值为40940．

解法2：对于满足题目条件的非负整数a1,a2,?,a100，可对应地取100个正整数x1,x2

(A)存在正整数k≤100,x1,x2,?,