概率论与数理统计2.2-离散型随机变量及其分布市公开课一等奖百校联赛优质课金奖名师赛课获奖课件.pptx

2.2

离散型随机变量及其分布

○离散型随机变量的概率分布

设x₂(k=1,2,.)是离散型随机变量X所取的

一切可能值，pk是X取值x,的概率，则称

P(X=xk)=Pk,k=1,2,.

为离散型随机变量X的概率分布或分布律。

X2..

P₂.

Xk

Pk..

X

Pk

X₁

P₁

分布列

O概率分布的性质

(1)Pk≥0,k=1,2,…;

(2)=1.k=1

(1)求常数a;

(2)P(X1),P(-2X≤0),P(X≥2).

P(X1)=P(X=-2)+P(X=-1)+P(X=0)=5

-2-10

a3a

8

例1.X

Pk

2

2a

1

a

例2.一盒中装有编号为1,2,..,6的六只球，现从中任取三只球，求被抽取的三只球中最大号码X的分布律和分布

函数，并画出其图形.

解：显然X只能取3,4,5,6

k=3,4,5,6

X3456

P0.050.150.30.5

由于X的取值点3,4,5,6将R分成五个区间，因此我们分段讨论可得，

F(x)

0.5

0.2

0A05

○离散型随机变量的分布函数

F(x)=P(X≤x)

≤X

xx₁

x₁≤xx₂

十≤xX₃

x₁≤xx₁+1,i≥1

F

h

k=1

例3.已知随机变量X的分布函数如下，

求其分布律.

解：∵P(X=x)=F(x)-F(x-0)

X-124

P0.30.60.1

若随机变量X只可能取0和1两个值，其

概率分布为

P(X=1)=p,P(X=0)=1-p(0p1)

则称X服从参数为p的0-1分布.

O几种常见的离散型随机变量的分布0-1分布

若随机变量X的概率分布为

P,(k)=P(X=k)=Chpkq-k,

k=0,1,2,..,n;0q=1-p1,

称X服从参数为n和p的二项分布，记作

X~B(n,p).

O几种常见的离散型随机变量的分布二项分布

解：X:长度为n的随机数字序列中0的个数

X~B(n,0.1)

P(X≥1)=1-P(X=0)

=1-C,.0.1°·0.9”-0

=1-0.9”≥0.9

n≥22.

例4.一随机数字序列要有多长才能使0至少出现一次的概率不小于0.9?

例5.已知某份试卷中有5个单选题，每题

均有4个选项，设某人在每个题中随意选择一个选项，求他5题全答错的概率及答对不少于3题的概率。

解：X:5题中答对的题数

X~B(5,1/4)

P(x=0-(4)=02373

PX≥3)-2c(4)4

≈0.1035

P(X=k)本B(20,0.1)

B(20,0.3)

B(20,0.5)

-+0或+1-

(n+1)p是整数

(n+1)p不是整数

k

1415181920

例6.已知某工厂生产的一大批某类产品

的废品率为0.02,现从中抽出200件，求其中废品个数最有可能是多少?并求相应的概率。

解：X:200件产品中的废品数

X~B(200,0.02)

[(n+1)p]=[4.02]=4

P(X=4)=C200.0240.981⁹⁶≈0.1895

若随机变量X的概率分布为

k=0,1,2,..,

其中常数λ0,则称X服从参数为λ的泊松分布，记作X~P(Q).

O几种常见的离散型随机变量的分布泊松分布

P(X=k)A

λ=2.5

8

λ=5

01234567891011121314151617181920

l=10

k

8

例7.某商场某种贵重物品一天的销售件

数X服从参数为5的泊松分布，求一天该物品销售量至少为4件的概率和恰好为3件的概率。

解：X~P(5)

P(X≥4)=1-P(X≤3)=1-0.265=0.735

泊松定理

设随机变量X,~B(n,pn),其中pn是与n有关的数，又设λ=np,是常数，则有

limP(X,=k)=limChph(1-pn)-k

00

l—012..

定理的条件λ=np,意味着当n很大时，pn

必定很小.因此，泊松定理表明，当n很

大，p很小时有以下近似式：

例8.岩一年中某类保险者里面每个人死亡的概率为0.002,现有2000个这类人参加人寿保险。参加者交纳24元保险金，而死亡时保险公司付给其家属5000元赔偿

费。计算“保险公司