2024_2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程学案新人教A版选修1_1.docVIP

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椭圆及其标准方程

1.椭圆的定义

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离

(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：

P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a|F1F2

定义中的常数不满意2a|F1F2

提示：(1)当|PF1|＋|PF2|＝2a|F1F2

(2)当|PF1|＋|PF2|＝2a＝|F1F2|时，P的轨迹为以F1，F2

2．椭圆的标准方程

椭圆标准方程的两种形式

焦点位置

标准方程

焦点

焦距

焦点在x轴上

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1

(a＞b＞0)

F1(－c，0)，

F2(c，0)

2c

焦点在y轴上

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1

(a＞b＞0)

F1(0，－c)，

F2(0，c)

2c

(1)从椭圆的标准方程如何推断椭圆焦点的位置？

提示：推断椭圆焦点在哪个轴上就要推断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．

(2)在椭圆的标准方程中abc肯定成立吗？

提示：不肯定，只需ab，ac即可，b，c的大小关系不确定．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．()

提示：(1)×.因为2a＝|F1F2|＝8，动点的轨迹是线段F1F

(2)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．()

提示：(2)×.2a|F1F2

(3)平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．()

提示：(3)√.符合椭圆的定义．

(4)平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．()

提示：(4)×.平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2

2．椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＝2，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝()

A．2B．4C．6D．8

【解析】选D.由题意a＝5，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2a，

所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2a－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＝10－2＝8.

3．(教材二次开发：例题改编)设F1，F2为定点，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝6，动点M满意eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝10，则动点M的轨迹是________．(从以下选择：椭圆．直线．圆.线段)

【解析】动点M满意eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝106＝|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆．

答案：椭圆

类型一求椭圆的标准方程(数学运算)

1．(2024·昆明高二检测)已知椭圆的两个焦点是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0))，且点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2))在椭圆上，则椭圆的标准方程是()

A．eq\f(x2,13)＋eq\f(y2,4)＝1 B．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1

C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,13)＝1 D．eq\f(x2,13)－eq\f(y2,4)＝1

【解析】选A.由题意，因为椭圆的两个焦点是(－3，0)，(3，0)，

所以c＝3，且焦点在x轴上，又因为椭圆过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2))，

所以b＝2，依据a2＝b2＋c2，可得a＝eq\r(13)，故椭圆的标准方程