2024_2025学年新教材高中数学第三章函数2第一课时函数的零点三个“二次”间的关系学案新人教B版必修第一册.docVIP

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函数与方程、不等式之间的关系

新课程标准解读

核心素养

1.结合学过的函数图像，了解函数零点、方程解与不等式的关系

直观想象、数学抽象

2.结合详细连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在定理，了解用二分法求函数零点近似值具有一般性

直观想象、数学运算

第一课时函数的零点、三个“二次”间的关系

路边有一条河，小明从A点走到了B点，视察下列两组图示．

[问题]哪一组能说明小明的行程肯定曾渡过河？

学问点函数的零点

1．函数零点的概念

一般地，假如函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．

2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系

一般地，由一元二次方程解集的状况可知，对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：

(1)当Δ＝b2－4ac0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f(x)的两个零点，f(x)的图像与x轴有两个公共点(x1，0)，(x2，0)；

(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f(x)唯一的零点，f(x)的图像与x轴有一个公共点；

(3)当Δ＝b2－4ac0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时f(x)无零点，f(x)的图像与x轴没有公共点．

eq\a\vs4\al()

当a0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、一元二次不等式ax2＋bx＋c0(0)的解集、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示：

Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

ax2＋bx＋c＝0的实数根

x1，2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)(其中x1x2)

x1＝x2＝eq\f(－b,2a)

方程无实数根

y＝ax2＋bx＋c的图像

y＝ax2＋bx＋c的零点

eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)

eq\f(－b,2a)

无零点

ax2＋bx＋c0的解集

{x|xx1或xx2}

{x|x≠x1}

R

ax2＋bx＋c0的解集

{x|x1xx2}

?

?

类似可得到a0时的情形．

函数的零点是点吗？

提示：不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根．

1．函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是()

A．－eq\f(1,2)，－1 B.eq\f(1,2)，1

C.eq\f(1,2)，－1 D．－eq\f(1,2)，1

解析：选B方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝eq\f(1,2)，所以函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是eq\f(1,2)，1.

2．方程x2－4x－5＝0的解集为________，不等式x2－4x－50的解集为________．

答案：{－1，5}(－1，5)

求函数的零点

[例1]推断下列函数是否存在零点，假如存在，恳求出：

(1)f(x)＝eq\f(x＋3,x)；

(2)f(x)＝x2＋2x＋4.

[解](1)令eq\f(x＋3,x)＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝eq\f(x＋3,x)的零点是x＝－3.

(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－120，

所以方程x2＋2x＋4＝0无实数解，

所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．

eq\a\vs4\al()

求函数y＝f(x)的零点的方法

(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(x)＝0的解，求解时留意函数的定义域；

(2)已知x0是函数f(x)的零点，则必有f(x0)＝0.

[跟踪训练]

1．函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x＜0，,x2－1，x＞0))的零点为________．

解析：当x＜0时，x＋2＝0，则x＝－2.

当x＞0时，x2－1＝0，则x＝1，x＝－1(舍)．

所以函数f(x)的零点为－2和1.

答案：－2和1

2．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，则mn＝________．

解析：因为f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点为1和2，

所以1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实数解，

所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2＝－3（m＋1），,1×2＝n，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝2.))