高考数学（北师大版理）一轮复习第七章不等式第1节.doc

第1节不等式的性质与一元二次不等式

必威体育精装版考纲1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图.

知识梳理

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＞0?a＞b，,a－b＝0?a＝b，,a－b＜0?a＜b；))

(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＞1?a＞b（a∈R，b＞0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a∈R，b＞0），,\f(a,b)＜1?a＜b（a∈R，b＞0）.))

2.不等式的性质

(1)对称性：a＞b?b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c；

(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).

3.三个“二次”间的关系

判别式Δ＝b2－4ac

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根

有两相异实根x1，x2(x1＜x2)

有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集

eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))

R

ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集

{x|x1＜x＜x2}

?

?

[常用结论与微点提醒]

1.有关分数的性质

(1)若ab0，m0，则eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)eq\f(b－m,a－m)(b－m0).

(2)若ab0，且ab?eq\f(1,a)eq\f(1,b).

2.对于不等式ax2＋bx＋c0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形.

3.当Δ0时，ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集为R还是?，要注意区别.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)a＞b?ac2＞bc2.()

(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.()

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.()

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.()

解析(1)由不等式的性质，ac2＞bc2?a＞b；反之，c＝0时，a＞b?/ac2＞bc2.

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a0)没有实根.则不等式ax2＋bx＋c0的解集为?.

(4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立.

答案(1)×(2)√(3)×(4)×

2.(教材习题改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()

A.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) B.eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)

C.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) D.eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)

解析因为c＜d＜0，所以0＞eq\f(1,c)＞eq\f(1,d)，两边同乘－1，得－eq\f(1,d)＞－eq\f(1,c)＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－eq\f(a,d)＞－eq\f(b,c)＞0.两边同乘－1，得eq\f(a,d)＜eq\f(b,c).

答案B

3.设集合M＝{x|x2－3x－40}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于()

A.(0，4] B.[0，4) C.[－1，0) D.(－1，0]

解析∵M＝{x|x2－3x－40}＝{x|－1x4}，

∴M∩N＝[0，4).

答案B

4.(2018·榆林模拟)不等式eq\f(2,x＋1)1的解集是________.

解析由eq\f(2,x＋1)1得eq\f(1－x,x＋1)0等价于

(x－1)(x＋1)0，解得x1或x－1.

答案{x|x－1或x1}

5.已知函数f(x)＝ax2＋ax－1，若对任意实数x，恒有f(x)≤0，则实数a的取值范围是________.

解析若a＝0，则f(x)＝－1≤0恒成立，

若a≠0，则由题意，得

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0，,