2024年新教材高中数学第八章立体几何初步6.2直线与平面垂直一练习含解析新人教A版必修第二册.docVIP

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直线与平面垂直(一)

【基础全面练】(25分钟50分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()

A．异面B．平行

C．垂直D．不确定

【解析】选C.因为BA⊥α，α∩β＝l，l?α，

所以BA⊥l，同理BC⊥l，

又BA∩BC＝B，所以l⊥平面ABC.

因为AC?平面ABC，所以l⊥AC.

2．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形态为()

A.锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不确定

【解析】选B.由PB⊥α，AC?α得PB⊥AC，

又AC⊥PC，PC∩PB＝P，

所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.

3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是()

A．垂直且相交 B．相交但不肯定垂直

C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交

【解析】选C.取BD中点O，连接AO，CO，

则BD⊥AO，BD⊥CO，

所以BD⊥平面AOC，

所以BD⊥AC，

又BD，AC异面．

所以AC，BD不相交．

【加固训练】

如图所示，假如MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()

A．平行 B．垂直相交

C．垂直但不相交 D．相交但不垂直

【解析】选C.连接AC，因为ABCD是菱形，

所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，

则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，

所以BD⊥平面AMC.

又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.

明显直线MA与直线BD不共面，

因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．

4．(2024·赤峰高一检测)正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AB上的点，且AB＝4EB，则直线C1E与平面ADD1A

A．eq\f(\r(2),8)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(2),16)D．eq\r(17)

【解析】选A.如图，

在正方体ABCD－A1B1C1D1

因为平面AA1D1D∥平面BB1C

所以直线C1E与平面ADD1A1所成角等于直线C1E与平面BCC1B1

因为EB⊥平面BB1C1C

则∠EC1B即为直线C1E与平面BCC1B1所成的角．

设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4a

则EB＝a，BC1＝4eq\r(2)

所以tan∠EC1B＝eq\f(a,4\r(2)a)＝eq\f(\r(2),8).

即直线C1E与平面ADD1A1所成角的正切值为eq\f(\r(2),8).

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2024·宜兴高一检测)将一本书打开后直立在桌面上(如图)，则书脊所在直线AB与桌面的位置关系为________．

【解析】设桌面所在平面为平面α，

由AB⊥BC，AB⊥BE，

且BC?平面α，BE?平面α，且BC∩BE＝B，

可得AB⊥平面α.

答案：垂直

6．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2eq\r(2)，则AC1与面ABB1A1所成的角为________．

【解析】取A1B1中点D，连接C1D，AD，

因为正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2eq\r(2)，

所以C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，

因为A1B1∩AA1＝A1，

所以C1D⊥平面ABB1A1

所以AC1与面ABB1A1所成的角为∠DAC1

因为C1D＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，AD＝eq\r(（2\r(2)）2＋12)＝3，

所以tan∠DAC1＝eq\f(C1D,AD)＝eq\f(\r(3),3)，

所以∠DAC1＝eq\f(π,6).

所以AC1与面ABB1A1所成的角为eq\f(π,6).

答案：eq\f(π,6)

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，AC与BD交于点O.求证：BD⊥平面PAC.

【证明】因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC，

又因为PA⊥平面ABCD，

所以BD⊥PA，PA∩AC＝A，

所以BD⊥平面PAC.

8．如图，在四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.

求证：SD⊥平面SAB.

【证明】因为AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，

所以底面ABCD为直角梯形，

AD＝eq