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第2讲相似的经典模型

一、三垂直相似

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图示已知结论

，

特别地，当是中点时，有．

经典例题

例题1

1如图，已知，，是线段的中点，且，，，那么

．

2如图，在正方形中，为边的中点，，与边相交于点，如果的面积

等于，那么的面积等于（）．

1

A.B.C.D.

3如图，面积为的正方形中，有一个小正方形，其中、、分别在、、

上，若，则小正方形的周长为（）．

A.B.C.D.

4如图，一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个

顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是．

例题2

如图，，，，；用一个三角尺进行如下操作：将直角顶点在线

段上滑动，一直角边始终经过点，另一直角边与相交于点，若，求的长．

2

例题3

1如图，直线，，和互相平行，与，与，与的距离分别为，，，矩形的顶

点分别在，，，上，且，则长为．

2如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为，将矩形

沿对角线翻折，使得点落在点的位置，且交轴于点，求点坐标．

例题4

如图，是边长为的正方形，是边上一动点，折叠正方形使与重合；

3

(1)找出图中相似的三角形，并证明你的结论．

(2)当时，求和的周长.

二、一线三等角

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一线三等角

一线三等角：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧，若有第三个与之相等的角，

其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相

交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角

型”相似三角形．

I一线三等角模型：如上图，这三个等角，可以已知：

是锐角、可以是直角或钝角，结论均成立．求证：

II一线三等角模型的拓展：如下图，点在线段

⑴已知：如图①，

上，连接，若点是线段中点或

且是线段中点求证：

，则（反之亦成

立）．

4

⑵已知：如图②，且