2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)模拟卷02(全国高中数学联赛)(学生版+解析).docxVIP

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2025年全国高中数学联合竞赛

一试全真模拟试题2

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1．对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称是“筑梦数”，则“筑梦数”的个数为．

2．设集合，若，则正实数a的最小值为．

3．设，若，则的值为．

4．从1至9的9个整数中随机取4个不同的数，则这4个数的中位数是整数的概率为．

5．设椭圆的左右焦点分别为，右顶点为．已知上一点满足，则的离心率为．

6．设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为．

7．已知函数的定义域为，且，则的值为．

8．将5个实数分别放在正五边形的各个顶点上，满足：任取3个依次相邻的顶点，设上面的实数为，均有．记这5个数的绝对值之和为，则的取值范围是．

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本题满分16分）已知等比数列的公比，且成等差数列．当取最小值时，求集合中所有元素之和．

10．（本题满分20分）已知抛物线与双曲线

交于两点，F是的右焦点，直线AF分别交于两点（异于），直线分别交x轴于两点．求的取值范围．

11．（本题满分20分）设复数的模均为1，令

，

其中下标模10理解．求的最大值．

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一试全真模拟试题2参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1．对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称是“筑梦数”，则“筑梦数”的个数为．

答案：4．

解：注意到两位数的完全平方数有且仅有，因此可得所有的筑梦数为，共4个．

2．设集合，若，则正实数a的最小值为．

答案：．

解：当时，，又，故，不符合题意；当时，，此时，符合题意．因此正实数a的最小值为2．

3．设，若，则的值为．

答案：．

解：由于，故

，

解得．

4．从1至9的9个整数中随机取4个不同的数，则这4个数的中位数是整数的概率为．

答案：．

5．设椭圆的左右焦点分别为，右顶点为．已知上一点满足，则的离心率为．

答案：．

解：设的半焦距，则．

不妨设点在第一象限，则．

由得，即

，

所以．

因此的面积．再根据，可得．又由得，故．

将代入的方程，得，结合，有，解得．因此的离心率为．

6．设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为．

答案：．

解：将正方体置于空间直角坐标系中，且A在平面中，点O和点的连线是一条体对角线．

设，和分别是点在平面上的投影．

则，当，且时等号成立．

7．已知函数的定义域为，且，则的值为．

答案：1．

解：由于，故，所以，即为偶函数．

又，结合

，

可得．

故，又因为，所以，即6是的周期．

令，可得，故；再令，可得，故．

综上所述，所以．

8．将5个实数分别放在正五边形的各个顶点上，满足：任取3个依次相邻的顶点，设上面的实数为，均有．记这5个数的绝对值之和为，则的取值范围是．

答案：．

解：设正五边形的顶点上的数字依次为，记，其中．则

S的最小值显然为0，此时．

下面考虑S的最大值，注意到

，

其中．上式对于任意变量，均为先减后增的函数，故S的最大值在时取到．

由对称性，不妨设中正数更多，共l个，．下面分情况讨论：

①若，则，故；

②若，不妨设，故；

③若，则不妨设或．若，则；若，则，此时．

综上所述，S的取值范围是．

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本题满分16分）已知等比数列的公比，且成等差数列．当取最小值时，求集合中所有元素之和．

解：由题意得，即，故．所以．……………4分

考虑，则．令得，故在单调递减，在单调递增，因此的最小值点是，取最小值时，．……………12分

此时．不是偶数，所以，．

所以当取最小值时，A