2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)模拟卷05(全国高中数学联赛)(学生版+解析).docxVIP

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2025年全国高中数学联合竞赛

一试全真模拟试题5

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1．对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称是好数，则好数的个数为．

2．设正实数列满足．记数列的前n项和为，若，则的值为．

3．设，记．已知，则x的值为．

4．已知复数的模均为1，且，则的值为．

5．设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为．

6．已知函数的定义域为，且，则的值为．

7．在中，，双曲线以为焦点，且经过点，则的离心率为．

8．已知集合，为M的非空子集，则子集A中的最大元素与最小元素之和的数学期望为．

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本题满分16分）已知等比数列的公比，且成等差数列．当取最小值时，求集合中所有元素之和．

10．（本题满分20分）在正四面体ABCD中，点分别在棱上（均不与顶点重合），且，求的取值范围．

11.（本题满分20分）已知抛物线的焦点为，点关于原点的对称点为，是以点为圆心，1为半径的圆．过上一点（异于原点）作的切线，切点为．

(1)求的最大值；

(2)求的最大值．

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一试全真模拟试题5参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．

2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1．对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称是“好数，则好数的个数为．

答案：4．

解：注意到两位数的完全平方数有且仅有，因此可得所有的筑梦数为，共4个．

2．设正实数列满足．记数列的前n项和为，若，则的值为．

答案：3．

解：由题意得，即．故

．

因此．

3．设，记．已知，则x的值为．

答案：．

解：对取以x为底的对数，由对数的运算性质得

．

结合可得

，

即，解得（负根舍去）．

4．已知复数的模均为1，且，则的值为．

答案：．

解：注意到，故．因此．

进而．

所以．

5．设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为．

答案：．

解：将正方体置于空间直角坐标系中，且A在平面中，点O和点的连线是一条体对角线．

设，和分别是点在平面上的投影．

则，当，且时等号成立．

6．已知函数的定义域为，且，则的值为．

答案：1．

解：由于，故，所以，即为偶函数．

又，结合可得．

因此，又因为，所以，即6是的周期．

令，可得，故；再令，可得，故．所以．

7．在中，，双曲线以为焦点，且经过点，则的离心率为．

答案：2．

解：如图所示，以BC的中点O为原点建立平面直角坐标系，设的实轴长为，虚轴长为，焦距为．设的内心为，过点分别作边的垂线，垂足分别为．

由知，故点A在的左支上．因此，又，所以．

设的内切圆半径为，则，故，即，所以的离心率为2．

8．已知集合，为M的非空子集，则子集A中的最大元素与最小元素之和的数学期望为．

答案：．

解：设随机变量分别表示取到子集A中的最大元素和最小元素．

易知集合M的非空子集共有个，其中，最大元素X为n的子集可视为的子集与集合的并集，共有个．

同上可知，X为的子集共有个，X为的子集共有个，…，X为1的子集共有个，所以．

最小元素Y为1的子集可视为的子集与集合的并集，共有个．同理，Y为2的子集共有个，Y为3的子集共有个，……，Y为n的子集共有个，所以．

所以

．

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本题满分16分）已知等比数列的公比，且成等差数列．当取最小值时，求集合中所有元素之和．

解：由题意得，即，故．所以．

考虑，则．令得，故在单调递减，在单调递增，因此的最小值点是，取最小值时，．

此时．不是偶数，所以，．

所以当取最小值时，A中所有元素之和为．

10．（本题满分20分）在正四面体ABCD中，点分别在棱上（均不与顶点重合），且，求的取值范围．