2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)专题03导数(学生版+解析).docxVIP

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划

专题3导数

各省预赛试题汇编

1．（2024·吉林预赛）函数fx=ax3?6xa∈R，若

A．fx≤1对?x∈?12,1

C．fx≤18对?x∈?32,3

2．（2024·四川预赛）设函数fx=lnx+x?2

3．（2024·四川预赛）已知函数fx=px?px?2lnx

4．（2024·吉林预赛）已知函数fx=lnx?1x2+2ax

5．（2024·新疆预赛）函数fx=2x

6．（2024·上海预赛）已知函数fx=ax2+

7．（2023·江西预赛）函数fx=

8．（2023·四川预赛）设P0,a是y轴上异于原点的任意一点，过点P且平行于x轴的直线与曲线y=1alnx交于点Q，曲线y=1a

9．（2023·新疆预赛）若对任意的x∈0,+∞，不等式aeae

10．（2022·甘肃预赛）函数fx=ex?alnax?

11．（2022·苏州预赛）若关于x的不等式lnax+ax≤x+e

12．（2024·广东预赛）已知方程lnx+x1?m=0

(1)求实数m的取值范围；

(2)若不等式t+1lna+t

13．（2024·福建预赛）已知函数fx

(1)当m=1时，求f

(2)若fx≥0恒成立，求

14．（2024·内蒙古预赛）已知函数fx

(1)当a=0时，讨论fx在?4,1

(2)若x=0是fx的极小值点，求a的取值范围

15．（2024·重庆预赛）已知函数f(x)=lnx?sinx，若两不相等的实数x1,x2∈(0,π

16．（2023·吉林预赛）已知函数fx=ex?1+Ax2?1

17．（2022·浙江预赛）设m为大于1的正整数，函数fx

(1)当x∈0,m?

(2)证明对任意x∈0,m

18．（2022·福建预赛）已知函数fx

(1)若fx≤1恒成立，

(2)若fx存在最大值，求a的取值范围

19．（2022·甘肃预赛）设函数fx

(1)若函数fx在R上单调递增，求a的值

(2)当a1

(i)证明：函数fx有两个极值点x1,x2x

(ii)在(i)的结论下，证明：fx

20．（2022·吉林预赛）已知函数fx=4ex?1x+1+

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专题3导数

各省预赛试题汇编

1．（2024·吉林预赛）函数fx=ax3?6xa∈R，若

A．fx≤1对?x∈?12,1

C．fx≤18对?x∈?32,3

【答案】C

【详解】若fx≤2对

可得f?1=?a+6≥?2f

若a=8，即fx

又因为8x3?6x?2=8

且8x3?6x?

即8x3?6x

综上所述：a=8．

因为fx=8x

令f′x0，解得x?12或x

可知fx在?12

且f1

由f1

由f?

结合单调性可知：fx≤18对

故选：C．

2．（2024·四川预赛）设函数fx=lnx+x?2

【答案】4

【详解】fx

当x0时，fx=ln

∴fx在(0,+

而f1=?10，

∴x0时，fx在(1,2)

∵fx是偶函数，∴fx在

而f(?1)=?10，f(?2)=ln

∴x0时，fx在(?2,?1)

∴fx零点都在(?2,2)

故当a=?2,b=2时，b?a取最小值，且最小值为4，

3．（2024·四川预赛）已知函数fx=px?px?2lnx

【答案】1

【详解】∵函数fx=px?px?2

要使f(x)在定义域0,+∞内为增函数，

只需f′x≥0

即px2?2x+p≥0在0,+∞上恒成立，即p≥2x

∵2xx2+1=2

∴p≥1，即实数p的最小值为1．

4．（2024·吉林预赛）已知函数fx=lnx?1x2+2ax

【答案】1e

【详解】设gx=fx

当a=1e时，ge=lne

符合题意．

当a1e时，

设?x=ln

当0xe时，?′x0，当

即?x在0,e单调递增，在

知x=e为?

所以?x

所以当a1e时，对?x0，有

综上，amax

5．（2024·新疆预赛）函数fx=2x

【答案】12

【解析】当x≤?52

当?52x?

当x≥?32时，f

因此，fx在x=?2

6．（2024·上海预赛）已知函数fx=ax2+

【答案】?

【详解】由条件ax2+ln

则g′

于是gx在区间0,e上单调递增，在区间e

从而gx

结合图形知a∈?12e,0，

7．（2023·江西预赛）函数fx=

【答案】1

【详解】f

所以函数fx=x

8．（2023·四川预赛）设P0,a是y轴上异于原点的任意一点，过点P且平行于x轴的直线与曲线y=1alnx交于点Q，曲线y=1a

【答案】e

【详解】如图，令1a

则Qea2,a．又

令x=0，得

设fa=ea2

此时f′

所以当a=22时，△

9．（2023·新疆预赛）若对任意的x∈0,+∞，不等式aeae

【答案】1

【详解】设u=ex+1，则a

且函数y=xex在0,+∞