2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)专题07复数(学生版+解析).docxVIP

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划

专题7复数

全国联赛真题汇编

1．（2024·全国联赛B卷）复数z=1+3i(i为虚数单位)

2．（2023·全国联赛A卷）设复数z=9+10i(i为虚数单位)，若正整数n满足z

3．（2022·全国联赛A卷）若复数z满足：z?3iz+i为负实数(i为虚数单位)，z?

4．（2022·全国联赛A1卷）设复数z=πe+π1+i+eπ+e1

5．（2022·全国联赛A2卷）设a为实数．若存在实数t，使得a?it?i+i为实数(i为虚数单位)，

6．（2022·全国联赛B卷）已知复数z满足z=1，且Rez+1

7．（2022·全国联赛B1卷）设z0为复数，集合A=z0+ik∣k∈Z(i为虚数单位)

8．（2024·全国联赛A卷）设复数z,w满足z+w=

各省预赛试题汇编

9．（2024·广东预赛）已知复数z，满足z?R,z+

10．（2024·江苏预赛）设a∈R，已知虚数z满足z=1，且z+

11．（2024·贵州预赛）已知复数z1,z2满足：z1

12．（2024·北京预赛）设复数z满足3z?2i=6，令z1=z

13．（2024·福建预赛）已知z1,z2,z3为方程

14．（2024·江西预赛）设复数z满足4z?22z?

15．（2024·浙江预赛）已知复数z满足z24=z?1510

16．（2024·内蒙古预赛）已知关于x的方程x3?3x+4=0的三个复数根分别为z1，z2，z3

17．（2024·新疆预赛）在复平面内，复数z1,z2,z3对应的点分别为Z

18．（2024·上海预赛）若关于z的方程zn+1?2zn

19．（2024·重庆预赛）已知复数z使得z?4z为纯虚数，则|z?1?i|

20．（2023·东莞预赛）已知复数z满足z?iz?1是纯虚数(其中i是虚数单位)，

21．（2023·福建预赛）已知z1,z2是互为共轭的复数，若z1

22．（2023·贵州预赛）已知z为虚数，且z2=z，则

23．（2023·苏州预赛）方程5z4+10

24．（2023·浙江预赛）设不全相等的三个复数z1,z2,z3满足方程4z12

25．（2023·重庆预赛）已知复数z满足z=1，则z

26．（2022·重庆预赛）已知复数z1,z2,z3,z4

27．（2022·广西预赛）若复数z满足zz?iz=1

28．（2022·新疆预赛）设z为复数，若方程z2?z2?9

29．（2022·浙江预赛）若单位复数a,b满足ab+ab=3

30．（2022·福建预赛）已知复数z1,z2在复平面上对应的点分别为A,B，且z

31．（2022·甘肃预赛）设z1,z2为一对共轭复数，如果满足z1?z2=

32．（2022·苏州预赛）已知z为虚数，且z+9z为实数，则

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专题7复数

全国联赛真题汇编

1．（2024·全国联赛B卷）复数z=1+3i(i为虚数单位)

【答案】2

【解析】z+2z+

2．（2023·全国联赛A卷）设复数z=9+10i(i为虚数单位)，若正整数n满足z

【答案】2

【详解】zn=zn=92+102n=181n

3．（2022·全国联赛A卷）若复数z满足：z?3iz+i为负实数(i为虚数单位)，z?

【答案】3

【详解】设z=

由于z?3iz+i=a+b?3ia+b+

又此时z?3z+1=?3+bi1+bi

4．（2022·全国联赛A1卷）设复数z=πe+π1+i+eπ+e1

【答案】2

【详解】记u=πe+π

因此z=

5．（2022·全国联赛A2卷）设a为实数．若存在实数t，使得a?it?i+i为实数(i为虚数单位)，

【答案】a

【详解】计算得a?i

根据条件，存在实数t，使得a?t

a

当t取遍一切实数时，a的取值范围是a≤?

6．（2022·全国联赛B卷）已知复数z满足z=1，且Rez+1

【答案】?

【详解】由于zz=z2=1，故z=1z．因此Re

7．（2022·全国联赛B1卷）设z0为复数，集合A=z0+ik∣k∈Z(i为虚数单位)

【答案】?

【详解】当k≡0,1,2,3?mod?4时，ik的值分别为1,i,?1,?i

所以A的所有元素之积为3+

8．（2024·全国联赛A卷）设复数z,w满足z+w=

【答案】8

【详解】解法1：设z=a+bi

S

≥

=a

记t=a+1．对固定的b，记B=

由ft=f4?t，不妨设t≥

当t∈2,t

f

=

≥0(用到2≤t≤t0

当t∈t

f

≥

≥

所以S≥

当b=0(①取到等号)，a=t0?

解法2：设z=1+x

计算得

z

w

所以

S

利用a+b

S≥

亦有

S≥

注意到方程8x=21

当x≥5?2时

当0≤x5?

因此当x=5?2,y

解法3：因为w=2

z

2

从而上两