2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)专题10解析几何(中)(学生版+解析).docxVIP

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专题10解析几何（中）

全国联赛真题汇编

1．（2023·全国联赛A卷）平面直角坐标系xOy中，已知圆Ω与x轴、y轴均相切，圆心在椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a

2．（2023·全国联赛B卷）若双曲线Γ1:x2a2

3．（2023·全国联赛A卷）平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ:y2=4x,F为Γ的焦点，A,B为Γ上的两个不重合的动点，使得线段AB的一个三等分点P位于线段OF上(含端点)，记

4．（2023·全国联赛B卷）平面直角坐标系中，圆Ω与x轴、y轴均相切，与椭圆Γ:x2a2+y2b2=1ab

各省预赛试题汇编

5．（2023·东莞预赛）已知双曲线C:x2a2?y2b2=1a0,b0,l为双曲线C

6．（2023·福建预赛）已知双曲线C:x2a2?y2b2=1a0,b0的离心率为173,F为右焦点，

7．（2023·江西预赛）已知点A1,3,B5,4,C3,7,D7,1

8．（2023·江西预赛）设A,B为双曲线W:x2a2?y2b2=1与实轴的交点，P0,1为双曲线外一点，PA,PB

9．（2023·内蒙古预赛）设A,B为函数fx=3?x2的图象上在y轴两侧的点，

10．（2023·山东预赛）已知双曲线H:x2?y2=1上第一象限内一点M，直线l与双曲线H切于点M，交H的渐近线于两点P,Q(P在第一象限)．

11．（2023·上海预赛）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x3?ax有两条互相平行的切线，若这两条切线的斜率均为1，且两条切线之间的距离为8

12．（2023·上海预赛）已知曲线Γ的方程是xx+yy=1，若过点A1,0的直线

13．（2023·四川预赛）如图，将函数y=cosx+10≤x≤2π的图象Γ画在矩形OABC内，将

14．（2023·苏州预赛）已知直线l1:y=x,l

15．（2023·苏州预赛）已知椭圆C1:x24+y2=1，椭圆

16．（2023·重庆预赛）双曲线x2a2?y216=1的左、右焦点分别为A,B，

17．（2023·东莞预赛）已知正△ABC内接于抛物线y=x2?7136，点P满足PA+PB+PC=0．是否存在定点Q，使得点P到点Q的距离与点

18．（2023·福建预赛）已知B1,B2分别为椭圆C:x28+y24=1

(1)若tan∠B1PB2

(2)设R为直线B1P,B2Q

19．（2023·吉林预赛）已知椭圆M:x2a2+

(1)求椭圆M的方程；

(2)过点Q?2,?1作直线l与椭圆M的下半部分相交于两个不同的点A,B，连接PA,PB分别交直线y=?

20．（2023·内蒙古预赛）设A,B为椭圆x24+y23=1上不同的两个点，直线AB分别与x轴、y轴交于Pm,0,Q0,nm≠±2

21．（2023·上海预赛）已知抛物线y2=2pxp0与双曲线y=?1x相交于点R，抛物线与双曲线的公切线分别与抛物线、双曲线相切于点S,T

22．（2023·四川预赛）已知抛物线Γ的顶点是原点O，焦点是F0,1．过直线y=?2上任意一点A作抛物线Γ的两条切线，切点分别为P,Q，

23．（2023·苏州预赛）已知椭圆E:x29+y24=1,A0,2,P

(1)若MN=6，求直线

(2)求△PMN外心的轨迹方程

24．（2023·新疆预赛）已知椭圆C:y2a2+x2b2=1ab0的离心率为12，上下焦点为

(1)求AD+BD

(2)过A,B做椭圆C的两条切线交于点E，若F1E交x轴于P,F2E交

25．（2023·浙江预赛）已知椭圆x2a2+y2b2=1ab

(1)求椭圆方程；

(2)连接AP交椭圆于点C，过C点作x轴的垂线，交椭圆于另一点D，求S△ABD

26．（2023·重庆预赛）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1ab1的离心率为23，以其左顶点K为圆心

(1)求椭圆Γ的方程；

(2)圆K交直线x=?92于C,D两点，点P在线段CD上，过点P作椭圆Γ的两条不同切线PE

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专题10解析几何（中）

全国联赛真题汇编

1．（2023·全国联赛A卷）平面直角坐标系xOy中，已知圆Ω与x轴、y轴均相切，圆心在椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a

【答案】10

【详解】根据条件，可设圆心为Pr,r，则有r?82+r?92=r2，

椭圆Γ在点A8,9处的切线为l:8xa2+9yb2=1，其法向量可取为n=8a2,9b2．由条件，l也是圆Ω的切线，故n

2．（2023·全国联赛B卷）若双曲线Γ1:x2a2

【答案】3

【详解】设c=a2+b2，则

因此1e12+1e22=

3．（2023·全国联赛A卷）平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ:y2=4x,F为Γ的焦点，A,B为Γ上的两个不重合的动点，使得线段AB的一个三等分点P位于