复变函数与实变函数的相同与不同联系与区别-数学物理方法.pptxVIP

复变函数与实变函数之比较

——北方工大

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目录

•1、复变函数与实变函数特点比较

•2、复变函数与实变函数联络与区分

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1、复变函数与实变函数特点比较

•1.1、相同点

•1.2、不一样点

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一、复变函数与实变函数特点比较

实变函数：以实数作为自变量函数叫实变函

数，它是微积分学深入发展，基础是点集

论（点集论是专门研究点所成集合性质理

论）。当然它与古典数学也有差异。

复变函数：主要研究定义域为复数函数微积

分以及幂级数展开等性质。

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1.1、相同点

•首先，复变函数和实变函数研究主体都是

函数；

•其次，复变函数和实变函数研究根本都是：

变量、函数、极限、导数、级数、积分；

•第三，对复变函数和实变函数研究所采取

方法基本相同，或最少是没有显著差异。

基本方法都是传统数学方法。

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1.2不一样点

•二者定义域不一样，即所建立空间不一样；

•复函研究是黎曼积分从数学分析实空间扩

展到复空间上，而实函是另一套积分理论--

勒贝格积分；

•所建立思维不一样、研究方法不一样；

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1.2不一样点

•研究范围不一样：实变函数论内容包含实

值函数连续性质、微分理论、积分理论和

测度论；而复变函数三大分支是分析（柯

西积分理论）、几何（黎曼面理论）、代

数（魏尔斯特拉斯级数理论）；

•一些初等函数值域、周期性、算法（尤其

积分）有很大区分；

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2、复变函数实变函数联络与区分

2.1、联络

2.2、区分

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2.1、联络

•从数学专业来看，本科阶段分析学课程群

（与极限理论相关数学课程类）包含数学

分析、实变函数、复变函数、泛函分析和

拓扑学等关键课程。

•如此来看，复变函数只是实变函数在微积

分领域推广与发展，又称复分析。

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2.1、联络

实变函数有序组合能够这么表示复函：

wf(z)u(x,y)iv(x,y)

•显然，一个复变函数是两个许多定义、公式、定

理可直接移植到复变函数中。

•举例（文件），以二元实函为例，从连续性、可

导性、可微性、解析性方面说明了二者之间联络；

以Green公式说明二者紧密相联；以复变函数、

实变函数定理巧妙处理相互之间问题说明二者联

络。

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2.2、区分

•重大差异：微分中值定理、解析函数无穷可微性

（对于单连通区域D内解析函数来说，含有没有

穷可微性，但对一元实函数而言，这一点是难以

保障）和零点孤立性。

•其它方面还有以下几点

1解析函数值与值之间有紧密联络：柯西积分定理是

解析函数积分理论基础，其实质就是一个在区域

内解析函数是能够用一个积分来表示，也就是解

析函数在区域内任意处值总能够用其在边界上积

分来表示；

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2.2、区分

2函数连续但不可导在分析中找一个处处连续

而一点不可导例子是很困难，而在复变函

数中这么例子很多；

3关于对数：在实数范围内，负数不能取对数，

而在复数范围内，任一个非零复数都有没

有穷多个对数，负数只是没有实对数；

4关于ROLL定理：一元实函数中ROLL定理

不能直接推广到复数域中来；