一元二次方程课件北师大版九年级数学上册.pptx

2.1.1一元二次方程;教学重难点

重点：一元二次方程的解法，实际问题中的方程建模。

难点：配方法的步骤，实际问题中复杂等量关系的分析。

三、教学过程

1.情境导入（8分钟）

问题1：展示生活问题：

“一个矩形的面积是15cm2，长比宽多2cm，求长和宽。”

引导学生设未知数，列出方程

x(x+2)=15

，整理为

x

2

+2x?15=0

。

问题2：提问：

“这个方程与之前学的一元一次方程有何不同？”

引出课题：一元二次方程。

2.探究新知（30分钟）

活动1：一元二次方程的概念

定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。

一般形式：

ax

2

+bx+c=0

（

a



=0

），强调二次项系数不为零。

练习：判断下列方程是否为一元二次方程：

x

2

=4

，

3x+5=0

，

x

3

?2x=0

，

x(x?1)=x

2

+2

。

活动2：因式分解法解一元二次方程

原理：若

ab=0

，则

a=0

或

b=0

。

步骤：

移项使右边为0。

将左边因式分解。

令每个因式为0，解方程。

例题演示：解方程

x

2

?5x+6=0

，分解为

(x?2)(x?3)=0

，得

x=2

或

x=3

。

活动3：配方法解一元二次方程

步骤：

二次项系数化为1。

移项：常数项移到右边。

配方：两边加上一次项系数一半的平方。

开平方求解。

口诀：“一化二移三配方，四开五解六检验。”

例题演示：解方程

x

2

+4x?1=0

，配方得

(x+2)

2

=5

，解得。

活动4：公式法解一元二次方程

求根公式：由配方法推导得出

x=

2a

?b±

b

2

?4ac

?

?

。

判别式：

Δ=b

2

?4ac

，判断根的情况：

Δ0

：两个不等实根；

Δ=0

：两个相等实根；

Δ0

：无实根。

例题演示：解方程

2x

2

?5x+1=0

，代入公式得

x=

4

5±

17

?

?

。

活动5：实际问题中的方程建模

步骤：设未知数→找等量关系→列方程→求解→检验（舍去不符合实际的根）。

例题分析：

“某商品原价100元，连续两次降价后售价81元，求平均每次降价的百分率。”

设降价率为

x

，列方程

100(1?x)

2

=81

，解得

x=10%

。

3.例题解析（10分钟）

例题1：解方程

3x

2

?6x=0

。

方法选择：因式分解法，提取公因式

3x

，得

x=0

或

x=2

。

例题2：用配方法解方程

2x

2

?4x?1=0

。

步骤演示：系数化为1→配方→开平方。

例题3：

“一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长直角边的长度。”

设较长边为

x

，列方程

2

1

?

x(x?3)=9

，解得

x=6

（舍去负根）。

4.巩固练习（15分钟）

基础题：教材习题（解方程、判别式应用）。

拓展题：

某工厂今年一月份生产零件50万件，第一季度共生产182万件，求二、三月份平均每月的增长率。

小组合作：设计一道与生活相关的一元二次方程应用题并互解，重点训练建模能力。

5.课堂小结（7分钟）

学生总结：

一元二次方程的定义、解法步骤。

实际问题中如何列方程及检验根的合理性。

教师强调：

因式分解法优先，配方法是基础，公式法是通法。

注意二次项系数非零，实际问题中根的意义。

四、作业布置

基础题：教材课后习题（必做）。

实践题：

测量家中正方形地砖的边长，若面积减少20%后变为128cm2，求原边长。

思考题：

若方程

x

2

+mx+1=0

有两个相等实根，求

m

的值。能否用配方法验证？

五、教学资源

多媒体课件（含解方程步骤动画演示）。

配方法教具（如正方形纸片辅助理解配方过程）。

实物投影仪展示学生解题过程。;1.理解并掌握一元二次方程的概念；掌握一元二次方程的一般

形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项.;旧知回顾;同学们，今天我们来做个游戏，黑板上有3个式子：x，4,8，请同学们写成一个学过的方程，并求出方程的解；接下来老师这里还有3个式子：x2，4,8，仿照刚才写的方程，写出一个新的方程.你能发现它们有什么样的共同特征？;数字中有许多有趣而奇妙的现象，很多秘密等待着我们去探索发现！现在，我们先来做一个数字游戏：大家先计算出10、11、12三个数字的平方和，再计算出13和14的平方和，看看两个平方和相等吗？你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？试试看！