2024_2025学年新教材高中数学第六章计数原理六二项式定理课时素养评价含解析新人教A版选择性必修第三册.doc

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六二项式定理

(25分钟·50分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.QUOTE·2n+QUOTE·2n-1+…+QUOTE·2n-k+…+QUOTE等于()

A.2nB.2n-1C.3n

【解析】选C.原式=(2+1)n=3n.

2.(2017·全国卷Ⅰ)QUOTE(1+x)6开放式中x2的系数为()

A.15 B.20 C.30 D.35

【解析】选C.QUOTE(1+x)6开放式中含x2的项为1·QUOTEx2+QUOTE·QUOTEx4=30x2,故x2的系数为30.

【类题·通】对于两个二项式乘积的问题,用第一个二项式中的每项乘以其次个二项式的每项,分析含x2的项共有几项,进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体状况,尤其是两个二项开放式中的r不同.

3.在(QUOTE+QUOTE)12的开放式中,含x的正整数次幂的项共有()

A.4项B.3项C.2项D.1项

【解析】选B.(QUOTE+QUOTE)12的开放式的通项为Tr+1=

QUOTE(QUOTE)12-r(QUOTE)r=QUOTE(0≤r≤12),6-QUOTE(0≤r≤12)为正整数,有3项,即r=0,r=6,r=12.

4.(2024·广州高二检测)若QUOTE的开放式中常数项等于-20,则a=()

A.QUOTE B.-QUOTE C.1 D.-1

【解析】选C.QUOTE的开放式的通项公式为Tk+1=QUOTE(ax)6-kQUOTE=(-1)ka6-kQUOTEx6-2k.

当k=3时,常数项为(-1)3a3QUOTE=-20,解得a=1.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.(2024·全国Ⅲ卷)QUOTE的开放式中常数项是________(用数字作答).?

【解析】由于Tr+1=QUOTEx2(6-r)2rx-r=2rQUOTEx12-3r,

由12-3r=0,得r=4,所以QUOTE的开放式中常数项是:QUOTE·24=QUOTE·16=15×16=240,故常数项为240.

答案:240

6.(2024·天津高二检测)QUOTE的开放式中,QUOTE项的系数为________.?

【解析】由于二项式开放式的通项公式为Tk+1=QUOTE(2QUOTE)6-kQUOTE=QUOTE(-1)k×26-k×x3-k;

令3-k=-1,所以k=4;

故开放式中含QUOTE项的系数为QUOTE×22=60.

答案:60

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.已知在QUOTE的开放式中,第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3.

(1)求n;

(2)求开放式中全部的有理项.

【解析】(1)依题意有QUOTE∶QUOTE=14∶3,化简,得(n-2)(n-3)=56,解得n=10或n=-5(不合题意,舍去),所以n的值为10.

(2)通项公式为Tk+1=QUOTE·(-1)kQUOTE=(-1)kQUOTE·QUOTE,由题意得QUOTE

解得k=2,5,8,所以第3项、第6项与第9项为有理项,它们分别为QUOTEx2,QUOTE,QUOTEx-2.

8.设f(x)=(1+x)m+(1+x)n的开放式中含x项的系数是19(m,n∈N*).

(1)求f(x)的开放式中含x2项的系数的最小值.

(2)当f(x)的开放式中含x2项的系数取最小值时,求f(x)的开放式中含x7项的系数.

【解析】(1)由题设知m+n=19,所以m=19-n,

含x2项的系数为QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE

=QUOTE+QUOTE

=n2-19n+171=(n-QUOTE)2+QUOTE.

由于n∈N*,所以当n=9或n=10时,x2项的系数的最小值为QUOTE+QUOTE=81.

(2)当n=9,m=10或n=10,m=9时,x2项的系数取最小值,此时x7项的系数为QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=156.

(15分钟·30分)

1.(5分)(2024·昆明高二检测)QUOTE的开放式中,常数项为()

A.1 B.3 C.4 D.13

【解析】选D.由于QUOTE表示4个因式QUOTE的乘积,故开放式中的