2024_2025学年新教材高中数学第9章平面向量章末综合提升学案含解析苏教版必修第二册.docVIP

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第9章平面对量

类型1向量的线性运算

向量线性运算包括向量的加法、减法和数乘运算，而向量共线定理和平面对量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量运算的关键所在，常用它们解决平面几何中的共线、共点问题；三角形法则和平行四边形法则是向量加、减的两个重要依据，在向量表示中经常结合平面几何学问敏捷应用．

【例1】

如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，F为AE的中点，以eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))为基底表示向量eq\o(BF,\s\up6(→))．

[解]如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，于是eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AD,\s\up6(→))))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))．

[跟进训练]

1．经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝neq\o(OB,\s\up6(→))，m，n∈R，求eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)的值．

[解]设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，

eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝nb－ma，

eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(OG,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－ma＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)b．

由P，G，Q共线得，存在实数λ使得eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(PG,\s\up6(→))，

即nb－ma＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)λb，

则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ，))消去λ，得eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)＝3．

类型2向量数量积的运算

平面对量的数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算及数量积的几何意义．利用数量积可以求向量的模(|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2))和夹角eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ＝\f(a·b,|a||b|)))，求解时要敏捷，即适合建系的借助坐标法求解，不适合建系的可借助基底，先把向量分解，再借助定义求解．

【例2】设向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，且|eq\o(OA,\s\