专转本第六讲多元函数微积分.ppt

前言

这部分知识在一元函数微积分的基础上扩充到多元函数

微积分，说是多元，实际上也只是针对二元函数进行研究。

有了前面的基础，这部分内容是可以自学的，但还是有些难

度的。不过我们从历年的试卷中不难发现，试题的形式和难

度还是比较固定的，一般来说会出现三种题型：

一是考查对多元函数求偏导；

二是考查考查对抽象复合函数求偏导；

三是考查二重积分的计算。

这三种题型归根结底还是对一元函数求导或求积分，因

此，同学们在学习这部分知识的时候更多地要注重解题和实际应用，

对于一些概念和定理的理解可以暂时地回避，也就是说，首先要记

住一些结论和公式，找到解题的规律！

空间解析几何、级数及微分方程

§1多元函数微分学

一、多元函数的概念

人们在实践中，还会遇到许多依赖与两个或两个以上自变量

的函数，称这种函数为多元函数。

例如：圆柱体的体积Vr2h,(r,h)r0,h0

RT

定量理想气体的压强p

V(V,T)V0,TT0

1.二元函数的定义（R是常数）

2.二元函数的定义域

一元函数的定义域是数轴上的区间，对于二元函数，它的

定义域是平面上的点集，我们把它叫做区域，一般来说，区域

就是平面上一条或几条光滑曲线所围成平面图形.

围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，

包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开

区域．yy

(x,y)xy0

开区域oxox

22

(x,y)1xy4yy

(x,y)xy0闭区域

o12xo12x

(x,y)1x2y24

yy

(x,y)1x1,1y111

(x,y)1x1,1y1

-1o1x-1o1x

如图，这样的区域俗称矩形域-1-1

二元函数定义域的求法与一元函数类似，就是找使函数有

意义的自变量的范围.

例1求函数za2x2的y定2义域

y

该函数定义域应满足222

解：a

axy0222

xya

即x2y2a2

所以定义域为a

Ox

D(x,y)|x2y2a2

如图，这样的区域俗称圆域

2221

例2求函数zRxy(0rR)