福建省福州市福州恒一高级中学2025届高三下学期第一次月考 数学试题（含解析）.docx

福建省福州市福州恒一高级中学2025届高三下学期第一次月考数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．在二项式的展开式中，常数项为（???）

A．180 B．270 C．360 D．540

3．若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

4．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

5．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（????）

A． B． C． D．

6．函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（????）

A． B．

C． D．

7．曲线与交点个数是（???）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．图①是底面边长为2的正四棱柱，直线经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线顺时针旋转，得图②，若为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知，则下列不等式正确的是（）

A． B． C． D．

10．若函数，则（????）

A．的极大值点为2

B．有且仅有2个零点

C．点是的对称中心

D．

11．数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式：，克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图象“心形线”，明白了笛卡尔的心意.已知利用关系式和可将信中表达式转化为直角坐标系下的曲线方程.如图，该曲线图象过点，则（????）

A．

B．曲线经过点

C．当点在曲线上时，

D．当点在曲线上时，

三、填空题（本大题共3小题）

12．记为等差数列的前n项和，若，则公差．

13．某市统计高中生身体素质状况，规定身体素质指标值在内就认为身体素质合格，在[60，84]内就认为身体素质良好，在内就认为身体素质优秀，现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值，经计算．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质良好的概率为．（用百分数作答，精确到）

参考数据：若随机变量服从正态分布，则，．

14．已知椭圆，过轴正半轴上一定点作直线，交椭圆于两点，当直线绕点旋转时，有（为常数），则定点的坐标为，.

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知的内角所对的边分别为，且

(1)求角A；

(2)若为边上一点，为的平分线，且，求的面积

16．如图，在正三棱柱中，.

(1)证明：平面；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

17．已知为数列的前项和，为数列的前项和，.

(1)求的通项公式；

(2)若，求的最大值；

18．已知平面内一动圆过点，且该圆被轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)梯形的四个顶点均在曲线上，，对角线与交于点.求直线的斜率；

19．阅读以下材料：

①设为函数的导函数.若在区间D单调递增；则称为区上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.

②平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中.

(1)已知函数.

（i）当时，讨论的凹凸性；

（ii）当时，点在轴右侧且为的“3切点”，求点的集合；

(2)已知函数，点在轴左侧且为的“3切点”，写出点的集合（不需要写出求解过程）.

参考答案

1．【答案】C

【分析】分别求出两个集合后根据交集定义求解.

【详解】，

，

即．

故选C.

2．【答案】A

【详解】二项式的展开式的通项公式为，

令，解得，所以常数项为.

故选A.

3．【答案】D

【分析】设，根据复数代数形式的加减运算化简，再根据复数相等的充要条件得到方程组，即可求出、，最后根据复数的几何意义判断即可.

【详解】设，则，

所以，又，

所以，解得，

所以，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限.

故选D.

4．【答案】A

【详解】，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选A.

5．【答案】A

【详解】关于的一元二次方程有实数解，

则，解得，

结合选项可知的一个必要不充分条件的是.

故选A.

6．【答案】B

【详解】因为直线和直线的夹角为，

由题意可得双曲线夹角为，

而双曲线的渐近线方程为，

所以，

则，解得（负值舍去），

所以双曲线的渐近线方程为.

故选B.

7．【答案】A

【详解】作出曲线与大致图象，可知，而，

由曲线与图象知，曲线与有个交点.

故选A.

8．【答案】A

【详解】

如图，设正四棱柱的上下底面中心分别为点,过点作于点，连接，

依题意，易得直角梯形,因为边长为2的正三角形,则，且,

又，则.

设该几何体外接球球心为点,半径为,