湖南省长沙市雅礼中学2024−2025学年高三下学期月考卷（七） 数学试题（含解析）.docx

湖南省长沙市雅礼中学2024?2025学年高三下学期月考卷（七）数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．设集合，则（????）

A． B． C． D．

2．“”是“复数为纯虚数”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知平面向量满足，且，则（???）

A． B． C． D．

4．已知随机变量，且，则的最小值为（????）

A．5 B． C． D．

5．已知，则（???）

A． B． C． D．

6．已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线交双曲线的两条渐近线于两点，则（）

A． B． C． D．

7．从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是（???）

A． B．

C． D．

8．定义在的增函数满足：，且.已知数列的前项和为，则使得成立的的最大值是（）

A．8 B．9 C．10 D．11

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的有（????）

A．若，则平行或相交

B．若，则

C．若，则

D．若，则平行或相交

10．已知的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（????）

A．

B．若，则有两解

C．当时，为直角三角形

D．若为锐角三角形，则的取值范围是

11．数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（????）

A．曲线由两条抛物线的一部分组成

B．线段的长度与点到直线的距离相等

C．若线段的长度为，则直线的斜率为

D．若，则直线的斜率为

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知二项式展开式中含有常数项，则n的最小值为．

13．小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为.

14．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是.

四、解答题（本大题共5小题）

15．如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．

??

(1)证明：平面ABC；

(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值．

16．已知函数，其中

(1)当时，求曲线的对称中心；

(2)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围．

17．“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：

①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；

②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.

现有人玩游戏.

(1)分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率、；

(2)求人玩一轮游戏，平局的概率（结果用n表示）；

(3)设当时，玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率.

18．已知点，平面内过一动点（异于）的直线分别与直线4相交于两点，且，记动点的轨迹为曲线.

(1)求的方程；

(2)若斜率为1的直线与相交于两点，且，求的方程；

(3)记与外接圆的半径分别为，求的最小值.

19．记集合，，，对于，，，定义.

(1)，且，记随机变量，求

(2)若集合，对于，且，都有，请写出一个集合，使得集合中的元素个数最多，并说明理由；

(3)若集合，对于，且，都有，求证：集合中至多有个元素．

参考答案

1．【答案】D

【详解】不等式等价于，解得，

；

不等式等价于，

，，，

.

故选D.

2．【答案】C

【详解】复数，

当时，，复数，是纯虚数，

当复数为纯虚数时，有解得，

则“”是“复数为纯虚数”的充要条件.

故选C.

3．【答案】D

【详解】由，，

．

故选D．

4．【答案】D

【分析】根据正态分布的对称性求得，利用基本不等式求得正确答案.

【详解】根据正态分布的知识得，则，

，

当且仅当，即时取等号.

故选D.

5．【答案】A

【详解】，，

，可得，

，．

故选A．

6．【答案】A

【详解】由已知，渐近线方程为，则两条渐近线倾斜角分别为和；

直线的倾斜角为，且经过右焦点，所以该直线与其中一条渐近线垂直．

令，易得，则.

故选A.

7．【答案】C

【详解】从一顶点出发的边数为双数的顶点叫偶点，凡是偶点组成的图形一定可以一笔画，所以C选项正确;

从一顶点出发的边数为单数的顶点叫奇点，凡是奇点组成的图形，必须满足只有两个奇点，其余点为偶点才可以一笔画，

而ABD选项图形中，每个点都是奇点，所以不能一笔画.

故选C.

8．【答案】B

【详解】法一：，可令，又，则，

，

．

．

法二：

由题；

令；

令；

，