2024-2025学年新教材高中数学单元素养评价三第三章圆锥曲线的方程含解析新人教A版选择性必修第一册.doc

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单元素养评价(三)(第三章)

(120分钟150分)

一、单选题(每小题5分，共40分)

1．若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是()

A．y2＝－16xB．y2＝－32x

C．y2＝16xD．y2＝32

【解析】选C.由于点P到点(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，所以将直线x＋5＝0右移1个单位，得直线x＋4＝0，即x＝－4，易知点P到直线x＝－4的距离等于它到点(4，0)的距离．

依据抛物线的定义，可知P的轨迹是以点(4，0)为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线．

设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，可得eq\f(p,2)＝4，得2p＝16，所以抛物线的标准方程为y2＝16x，

即P点的轨迹方程为y2＝16x.

2．(2020·合肥高二检测)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于()

A．17B．15C．9D．7

【解析】选A.由于4x2－y2＋64＝0，所以eq\f(y2,64)－eq\f(x2,16)＝1，

所以双曲线上一点P到两个焦点距离之差的确定值为2×8＝16，

由于点P到双曲线的一个焦点的距离等于1，所以点P到另一个焦点的距离等于17.

3．(2020·北京高二检测)古希腊数学家阿基米德利用“靠近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2eq\r(3)π，且短轴长为2eq\r(3)，则C的标准方程为()

A．eq\f(x2,12)＋y2＝1B．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1

C．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,3)＝1

【解析】选B.由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＝\f(2\r(3)π,π)，,2b＝2\r(3)，))

解得a＝2，b＝eq\r(3)，由于椭圆C的焦点在x轴上，

所以C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.

4．已知F是抛物线y＝eq\f(1,4)x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()

A．x2＝2y－1B．x2＝2y－eq\f(1,16)

C．x2＝y－eq\f(1,2)D．x2＝2y－2

【解析】选A.设P(x0，y0)，PF的中点为(x，y)，

则y0＝eq\f(1,4)xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))，又F(0，1)，

所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0＋1,2)，))

所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x，,y0＝2y－1，))代入y0＝eq\f(1,4)xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))得2y－1＝eq\f(1,4)(2x)2，

化简得x2＝2y－1.

5．已知双曲线C：eq\f(y2,25)－eq\f(x2,144)＝1的上、下焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝14，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＝()

A．38B．24C．38或10D．24或4

【解析】选B.由题意可得a＝5，b＝12，c＝13，

由于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝14a＋c＝18，所以点P在双曲线C的下支上，

则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2a＝10，故eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＝24.

6．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，则椭圆C的离心率为()

A．eq\f(\r(3),3)B．eq\r(3)C．eq\f(1,3)D．3

【解析】选A.

如图，设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)，B(0，b)为上顶点，F(c，0)为右焦点，设D(x，y)，由＝