2024_2025学年新教材高中数学第5章三角函数3.1第2课时正弦函数余弦函数的周期性最值练习含解析湘教版必修第一册.docxVIP

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正弦函数、余弦函数的周期性、最值

课后篇巩固提升

必备学问基础练

1.设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,且有f(x)=则f-=()

A. B.-

C.0 D.1

答案A

解析因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,所以f=f=f.又因为0≤≤π,所以f=f=sin.

2.(2024吉林高一期末)设f(x)是定义域为R、最小正周期为的函数,若f(x)=则f-的值等于()

A.1

B.

C.0

D.-

答案B

解析f-=f×(-3)+=f=sin.

3.函数y=2-sinx的最大值及取最大值时x的值为()

A.y=3,x=

B.y=1,x=+2kπ(k∈Z)

C.y=3,x=-+2kπ(k∈Z)

D.y=3,x=+2kπ(k∈Z)

答案C

解析因为y=2-sinx,所以当sinx=-1时,y=3,此时x=-+2kπ(k∈Z).

4.函数y=asinx+1的最大值是3,则它的最小值是()

A.0

B.1

C.-1

D.与a有关

答案C

解析设sinx=t∈[-1,1],当a=0时,不满意条件.当a0时,y=at+1,当t=1时,y有最大值3,即a+1=3,则a=2,则当t=-1时,y有最小值-1,当a0时,y=at+1,当t=-1时,y有最大值3,即-a+1=3,则a=-2,则当t=1时,y有最小值-1,综上y=asinx+1的最小值是-1.故选C.

5.函数y=1-sin3x+,x∈R的最小值是,此时x的取值集合是.?

答案xx=,k∈Z

解析当sin3x+=1,即3x++2kπ,即x=时,函数取得最小值y=1-.

6.函数y=3-2cosx+的最大值为,此时x=.?

答案5+2kπ(k∈Z)

解析函数y=3-2cosx+的最大值为3+2=5,此时x+=π+2kπ(k∈Z),即x=+2kπ(k∈Z).

7.已知函数y=sinx+|sinx|.

(1)画出这个函数的简图;

(2)这个函数是周期函数吗?假如是,求出它的最小正周期.

解(1)y=sinx+|sinx|

=

函数图象如图所示.

(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,故函数的最小正周期是2π.

关键实力提升练

8.下列函数中,最小正周期为π的函数是()

A.y=sinx B.y=|cosx|

C.y=cosx D.y=sin|x|

答案B

解析对于A、C,周期均为2π,故A、C错误;对于D,y=sin|x|的图象关于y轴对称,周期不为π,故D错误;对于B,y=|cosx|,相当于将y=cosx在x轴下方的图象翻折上来,因此最小正周期为π,故选B.

9.函数f(x)=sin+x+cos-x的最大值为()

A.1

B.

C.

D.2

答案D

解析由+x与-x互余得f(x)=2sinx+.故f(x)的最大值为2,故选D.

10.函数y=-sinx,x∈0,的最大值为.?

答案0

11.函数f(x)=的最大值和最小值分别为和.?

答案-4

解析∵f(x)==3-,∴当sinx=1时,最大值y=;当sinx=-1时,最小值y=-4.

12.已知函数f(x)=-sin2x+asinx+1,

(1)当a=1时,求函数f(x)的值域;

(2)若当a0时,函数f(x)的最大值是3,求实数a的值.

解(1)当a=1时,f(x)=-sin2x+sinx+1,

令t=sinx,-1≤t≤1,

则y=-t2+t+1=-t-2+,

当t=时,函数f(x)的最大值是,

当t=-1时,函数f(x)的最小值是-1,

∴函数f(x)的值域为-1,.

(2)当a0时,f(x)=-sin2x+asinx+1=-sinx-2+1+,

当≥1,a≥2时,当且仅当sinx=1时,f(x)max=a,

又函数f(x)的最大值是3,∴a=3;

当01,0a2时,

当且仅当sinx=时,f(x)max=1+,

又函数f(x)的最大值是3,∴1+=3,

∴a=2,

又0a2,不符合题意.

综上,实数a的值为3.

学科素养创新练

13.利用“五点法”作出下列函数的简图.

(1)y=2sinx-1(0≤x≤2π);

(2)y=-1-cosx(0≤x≤2π).

解(1)列表:

x

0

π

2π

2sinx

0

2

0

-2

0

2sinx-1

-1

1

-1

-3

-1

描点作图,如图所示.

(2)列表:

x

0

π

2π

cosx

1

0

-1

0

1

-1-cosx

-2

-1

0

-1

-2

描点作图,如图所示.