2025版新教材高中数学微专题1圆锥曲线中的最值与范围问题基础训练含解析新人教A版选择性必修第一册.docxVIP

PAGE

PAGE5

微专题1圆锥曲线中的最值与范围问题

1.（2024北京房山高二期末）已知双曲线x24+y2

A.k＜0或k＞3B.-3＜k＜0C.-12＜k＜0D.-8＜k＜3

答案：C

2.（2024北京丰台高二期末）已知点M在椭圆x218+y29=1

A.1+19B.

C.5D.11

答案：B

解析：设圆x2+(y-1)2=1的圆心为C，则C(0,1)

设M(x0,

所以|MC|=x02+(y0-1)2

3.（2024重庆八中高二期中）若点O和点F分别为双曲线x22-y2=1的中心和左焦点，点

A.2+6B.

C.12D.

答案：B

解析：由题意，点O(0,0)，点F(-3

设点P(x,y)，则x2

所以OP=(x,y)，FP

所以OP?

所以当x=-2时，OP?FP

4.（2024安徽淮北一中高二期中）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0,b＞0)的渐近线方程为y=±3x，若动点P在C的右支上，F

A.4B.8

C.16D.24

答案：B

解析：易知当点P为双曲线的右顶点时，OP?OF2取得最小值2a，即a?c=2a，所以c=2，由ba

设|PF2|=t(t≥1)

所以|PF1|2|PF2

5.（多选题）已知F1,F2为椭圆

A.|MF

B.|MF

C.∠F1

D.若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A，B两点，P为l上满意|PA|?|PB|=2的点，则点P的轨迹方程为x22

答案：B;C;D

解析：由椭圆方程得a2=4，b2=3，∴c

选项A中，|MF

选项B中，|MF1|?|M

选项C中，当点M为短轴的端点时，∠F1MF2取得最大值，取M(0,3)，则tan

选项D中，设P(x,y)，A(x1,y)

∵|PA|?|PB|=2，∴|x-x

∴|x2-x1

又由题意知x124+y23=1，

6.（2024山东乳山第一中学高二月考）已知两点A(-1,0)，B(0,1)，点P是椭圆x216+y29=1

A.42B.

C.6D.6

答案：B

解析：由A(-1,0)，B(0,1)得直线AB的方程为y=x+1，

由图可知，直线y=x+m(m＜0)和椭圆相切于点P时，点P到直线AB的距离最大.

联立得y=x+m,x216

∵直线y=x+m和椭圆相切，∴Δ=(32m)2-4×25×(16?m2

∵直线y=x+1与直线y=x-5之间的距离d=|1-(-5)|12+(-1)2=32，

素养提升练

7.（2024北京平谷五中高二期中）已知双曲线x2a2-y

（1）求双曲线的方程；

（2）若双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上的随意一点，求

答案：（1）依题意有ca=32,8a2-

（2）由已知得A1(-2,0)，F2

于是PA1

因此PA

因为x≥2，所以当x=2时，PA

8.点A、B分别是椭圆x236+y220=1长轴的左、右端点，点F

（1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

答案：（1）由已知可得点A(-6,0)，F(4,0)，设点P的坐标为(x,y)，

则AP=(x+6,y)，FP=(x-4,y)，∵PA⊥PF，∴AP?FP

由x236+y220=1,x2+2x-24+y2=0,消去y得2x2

∴点P的坐标是(3

（2）由（1）得直线AP的方程是y-0532-0=x+632+6，即x-3y+6=0，设点M的坐标为(m,0)，-6≤m≤6，则M到直线AP

设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d，

∴d

∵-6≤x≤6，∴当x=92时，d取得最小值，为

9.已知抛物线C:y2=2px(p＞0)，点F为抛物线C的焦点，点A(1,a)在抛物线C上，且|FA|=2，过点F作斜率为k的直线l与抛物线C交于P

（1）求抛物线C的方程；

（2）若△APQ面积的取值范围为[5,85

答案：（1）由抛物线的定义得|FA|=1+p2=2

所以抛物线C的方程为y2

（2）由（1）知F(1,0)，所以设直线l的方程为y=k(x-1)，P(x1,

由y=k(x-1),y2=4x,得k2

由题意知AF⊥x轴，

所以S

=

=

=41

令t=1k2(t＞0)，所以S△APQ=4t

所以516≤t2+t≤20，得14≤t≤4

所以k的取值范围是[-2,-1