广西壮族自治区来宾市忻城县高级中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题.docxVIP

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广西壮族自治区来宾市忻城县高级中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，集合，则（????）

A． B． C． D．

2．“”是“复数为纯虚数”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（???）

A． B． C． D．

4．已知，则（???）

A． B． C． D．3

5．已知函数的图象如图，点，B在的图象上，过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形为平行四边形，且面积为，则（???）

??

A． B． C． D．

6．已知数列的前n项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为（????）

A． B． C． D．

7．已知椭圆的焦点为，，P是椭圆C上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆C的离心率为（???）

A． B． C． D．

8．已知，，，当时，恒成立，则的最小值为（）

A． B． C． D．

二、多选题

9．设，函数，则（????）

A．当时，的最小值为

B．对任意的，至少存在一个实数根

C．存在，使得有三个不同实数根

D．对任意的在上是增函数

10．某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（???）

A．事件与事件互斥 B．事件与事件B相互独立

C． D．

11．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，其中点在第一象限，点是的中点，垂直准线于，则下列结论正确的是（????）

A．若，则直线的斜率为

B．点到准线距离为

C．点到准线与到直线的距离之和的最小值为

D．若以为直径的圆经过焦点，则的最大值为

三、填空题

12．的展开式中的系数是.

13．如图1，在三棱锥中，，点P到平面的距离为2，且点P在平面内的射影与点C在直线的两侧.如图2，是底面在斜二测画法下的直观图（其中A与对应，B与对应），，则三棱锥外接球的表面积为.

14．已知函数，若存在最小值，且最小值为，则实数的值为

四、解答题

15．已知函数．

(1)当时，证明：；

(2)证明：．

16．已知中，，，．

(1)求；

(2)当取得最小值时，求BD．

17．已知等轴双曲线C的右焦点为，点列，，，，，是C在第一象限的点列，，，，，是渐近线在第一象限的点列，过右顶点且与x轴垂直的直线与渐近线在第一象限的交点为，对，直线轴，轴，设点的横坐标为，，记．

(1)证明：数列为等差数列，并求出的通项公式；

(2)记，数列的前项和为，求使得的的最大值.

18．如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面α的上方，点A恰在平面α内，点B到平面α的距离为2．若容器中装有水，静止时水面与平面的交线与的夹角为0，记水面到平面α的距离为d．

??

(1)证明：平面平面；

(2)求点到平面α的距离；

(3)当时，求所装的水的体积.

19．“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.

(1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为两类，抽到较易的类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的类并答对购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片，其中3张写有字母，3张写有字母，2张写有字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若抽到写有的卡片，则再抽1次，直至取到写有或卡片为止，求该顾客取到写有卡片的概率.

(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到条灯谜（不妨设每条灯谜的适合度各不相同），最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前条灯谜，自第条开始，只要发现比他前面见过的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设，记小明摘到那条最适合的灯谜的概率为.

①若，，求；

②当趋向于无穷大时，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值.（取）