《微积分一》函数的增减性.pptx

§4.3函数增减性

观察与思索y

y=f(x)l2

(1)若曲线yf(x)单调递增，

l

且在(a,b)内每一点处的切线1

都存在，试观察其倾斜角，

找出共性.

12

ox

结论：均为锐角斜率k0f(x)0

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§4.3函数增减性

观察与思索y

y=f(x)

(2)若曲线yf(x)单调递减，

且在(a,b)内每一点处的切线

都存在，试观察其倾斜角，

找出共性.

12

ox

l1l2

结论：均为钝角斜率k0f(x)0

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§4.3函数增减性

由此可见，函数单调性与它导数符号有着亲密联

系；反过来，能否用导数符号来判断函数单调性呢？

?

结论是必定！

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定理43(函数单调性判定法)

设函数f(x)在区间(ab)内可导那么

(1)假如x(a,b)时恒有f(x)0则f(x)在(a,b)内单调增加

(2)假如x(a,b)时恒有f(x)0则f(x)在(a,b)内单调降低

证只证(1)在(a,b)内任取两点x1x2(x1x2)应用拉格朗

日中值定理有

f(x2)f(x1)f()(x2x1)(x1x2)

因为x(a,b)时恒有f(x)0所以f()0又x2x10所以

f(x2)f(x1)f()(x2x1)0

即f(x1)f(x2)

这就证实了函数f(x)在(a,b)内单调增加

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定理43(函数单调性判定法)

设函数f(x)在区间(ab)内可导那么

(1)假如x(a,b)时恒有f(x)0则f(x)在(a,b)内单调增加

(2)假如x(a,b)时恒有f(x)0则f(x)在(a,b)内单调降低

说明

1.判定法中开区间可换成其它各种区间