章曲线积分与曲面斯托克斯公式.pptxVIP

斯托克斯公式第七节一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件机动目录上页下页返回结束第11章

一、斯托克斯(Stokes)公式定理1.设光滑曲面?的边界?是分段光滑曲线,(斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,?的侧与?的正向符合右手法则,在包含?在内的一证:情形1?与平行z轴的直线只交于一点,设其方程为为确定起见,不妨设?取上侧(如图).则有简介目录上页下页返回结束

则(利用格林公式)定理1目录上页下页返回结束

因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;定理1目录上页下页返回结束

情形2曲面?与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线把?分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.注意:如果?是xOy面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕定理1

为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:定理1目录上页下页返回结束

例1.利用斯托克斯公式计算积分其中?为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个解:记三角形域为?,取上侧,则边界,方向如图所示.利用对称性机动目录上页下页返回结束

例2.?为柱面与平面y=z的交线,从z轴正向看为顺时针,计算解:设?为平面z=y上被?所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦公式目录上页下页返回结束

*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2.设G是空间一维单连通域,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线?,有(2)对G内任一分段光滑曲线?,与路径无关(3)在G内存在某一函数u,使(4)在G内处处有机动目录上页下页返回结束

证:由斯托克斯公式可知结论成立;(自证)设函数则定理2目录上页下页返回结束

同理可证故有若(3)成立,则必有因P,Q,R一阶偏导数连续,故有同理证毕定理2目录上页下页返回结束

与路径无关,并求函数解:令?积分与路径无关,因此例3.验证曲线积分定理2目录上页下页返回结束

内容小结1.斯托克斯公式机动目录上页下页返回结束

在?内与路径无关在?内处处有2.空间曲线积分与路径无关的充要条件设P,Q,R在?内具有一阶连续偏导数,则机动目录上页下页返回结束