2025高考数学易错点题型015类不等式解题技巧（试卷+答案解析）.docx

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题型015类不等式解题技巧

（权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、

普通型糖水不等式与对数型糖水不等式）

技法01权方和不等式的应用及解题技巧

技法01权方和不等式的应用及解题技巧

技法02柯西不等式的应用及解题技巧

技法03基本不等式链的应用及解题技巧

技法04普通型糖水不等式的应用及解题技巧

技法05对数型糖水不等式的应用及解题技巧

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技法01权方和不等式的应用及解题技巧

在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式或基本不等式链来求最值，实际解题中往往会遇到题干复杂的题目，此时对于学生来说思路繁琐，计算量大，耗时较长且不易求解，而权方和不等式的优势极其明显，可以做到快速求解甚至秒解，常在小题中使用.

权方和不等式的初级应用:若则当且仅当时取等.

(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)

广义上更为一般的权方和不等式，设,

若或,则;

若,则;

上述两个不等式中的等号当且仅当时取等

（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是．

思路点拨：利用权方和不等式求解即可

思路详解：，所以实数a的取值范围是.

1．求的最大值为

思路详解：

当且仅当，即或时取等号，故答案为：.

2．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为.

思路详解：由权方和不等式，可知

==，

当且仅当时等号成立，所以的最小值为2.故答案为：2.

1．（2024·云南大理·模拟预测）已知，且，则的最小值为（????）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】C

【分析】根据已知等式，应用常值代换法应用基本不等式求和的最小值即可.

【详解】

（当且仅当，时取等号）.

故选:C.

2．设，，若，则的最小值为.

【答案】3

【解析】由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解.

【详解】由题意，因为，，满足，

所以，，且，

则

，

当且仅当且，即时取得最小值.

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

3．已知正实数，满足，则的最小值为.

【答案】

【分析】由，结合基本不等式求解即可.

【详解】因为，

所以，

所以，

因为为正实数，所以，

所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立，

所以，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为，

故答案为：.

4．已知正数，，满足，则的最小值为

【答案】

【分析】根据权方和不等式可得解.

【详解】因为正数，满足，

所以，

当且仅当即时取等号.

故答案为：.

5．已知，求的最小值为

【答案】

【分析】应用权方和不等式即可求解.

【详解】

当且仅当时取等号

故答案为：60

技法02柯西不等式的应用及解题技巧

若不等式题目以选择填空推出时，通过柯西不等式，观察系数的关系，配凑出题设的问题，柯西不等式往往起到秒杀作用.

1.二维形式的柯西不等式

a2+b2c2+d2≥ac+bd2(a,b,c,d∈R,当且仅当

已知x，y，z满足，则的最小值为.

思路点拨：利用柯西不等式求解即可

思路详解：因为,

即,

所以最小值为，当且仅当时取等号.故答案为：.

1．用柯西不等式求函数的最大值为

A． B．3 C．4 D．5

思路详解：函数

当且仅当==时，即x=2时等号成立，故该的最大值为4.

2．已知、、，.则的最小值是.

思路详解：由，即，

当，，，或，，时取等号,所以最小值是4.

1．函数的最小值为．

【答案】

【详解】注意到，．

则．

2．由柯西不等式，当时，求的最大值为（????）

A．10 B．4 C．2 D．

【答案】D

【分析】利用柯西不等式可得，即求.

【详解】解：由柯西不等式，得，

当且仅当，即时，等号成立.

因为，所以，

则，故的最大值为.

故选：D

3．设.则函数的最小值是????.

【答案】

【详解】由已知条件及柯西不等式有

①

则.

式①中等号成立的条件为,即,,.

代入已知等式有,解得.

因此,当,,时,.

4．设非负实数、、满足．则的最小值为．

【答案】

【详解】首先，．

则．

当且仅当时，．

技法03基本不等式链的应用及解题技巧

本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的