2024_2025年高中数学第四章圆的方程1.1圆的标准方程4作业含解析新人教版必修2.docVIP

PAGE

PAGE5

圆的标准方程

A组基础巩固

1．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()

A．(x－1)2＋(y－2)2＝10

B．(x－1)2＋(y－2)2＝100

C．(x－1)2＋(y－2)2＝5

D．(x－1)2＋(y－2)2＝25

解析：圆心坐标为(1,2)，半径r＝eq\r(?5－1?2＋?5－2?2)＝5，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.

答案：D

2．方程y＝eq\r(9－x2)表示的曲线是()

A．一条射线B．一个圆

C．两条射线D．半个圆

解析：y＝eq\r(9－x2)可化为x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲线为圆x2＋y2＝9位于x轴及其上方的半个圆．

答案：D

3．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，则△ABC的外接圆方程是()

A．(x－2)2＋(y－2)2＝20

B．(x－2)2＋(y－2)2＝10

C．(x－2)2＋(y－2)2＝5

D．(x－2)2＋(y－2)2＝eq\r(5)

解析：易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2,2)，半径是斜边长的一半，即r＝eq\r(5)，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.

答案：C

4．圆心为C(－1,2)，且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的方程是()

A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5

B．(x－1)2＋(y＋2)2＝20

C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5

D．(x＋1)2＋(y－2)2＝20

解析：本题考查确定圆的方法．因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆肯定过原点，所以半径r＝eq\r(?－1－0?2＋?2－0?2)＝eq\r(5)，又圆心为C(－1,2)，故圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故选C.

答案：C

5．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()

A．6B．4

C．3D．2

解析：本题考查圆的性质．由题意，知|PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即|PQ|的最小值为6－2＝4，故选B.

答案：B

6．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于()

A．第一象限B．其次象限

C．第三象限D．第四象限

解析：本题考查圆的圆心坐标的位置推断．因为直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，所以a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，所以圆心(－a，－b)在第四象限，故选D.

答案：D

7．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝1关于原点对称的圆的方程是__________．

解析：本题考查圆的性质．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝1的圆心坐标为(－2，－3)，半径为1，则关于原点对称的圆的圆心坐标为(2,3)，半径不变，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.

答案：(x－2)2＋(y－3)2＝1

8．点(5eq\r(a)＋1，eq\r(a))在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是__________．

解析：由于点在圆的内部，所以(5eq\r(a)＋1－1)2＋(eq\r(a))2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.

答案：0≤a＜1

9．圆x2＋y2＝4上的点到点A(3,4)的距离的最大值和最小值分别为________．

解析：∵32＋42＝254，∴点A(3,4)在圆外．已知圆的半径r＝2，|OA|＝eq\r(32＋42)＝5.结合图形可知，圆上的点到点A(3,4)的距离的最大值为|OA|＋r＝7，最小值|OA|－r＝3.

答案：7和3

10．已知圆心在x轴上的圆C与y轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．

(1)求此圆的标准方程；

(2)设P(x，y)为圆C上随意一点，求点P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．

解析：(1)由题意，结合图(1)可知圆心(3,0)，r＝2，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.

(2)如图(2)所示，过点C作CD垂直于直线x－y＋1＝0，垂足为D.

由点到直线的距离公式可得|CD|＝eq\f(|3＋1|,\r(2))＝2eq\r(2).

又P(x，y)是圆C上的随意一点，而圆C的半径为2.结合图形易知点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2eq\r(2)＋2，最小值为2eq\r(2)－2.

图(1)图(2)

B组实力提升

11．已知圆C：x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0和定点A(1,2)，要使过点A的圆C的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是()

A．(－eq\f(2\r(3),3)，eq\f