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拓扑学笔记整理

一、拓扑学基础概念。

1.拓扑空间。

-定义：设X是一个集合，T是X的一个子集族。如果T满足以下三个条件：

-空集?和X都属于T。

-T中任意多个元素（即子集）的并集仍属于T。

-T中有限个元素的交集仍属于T。

-则称T为X上的一个拓扑，(X,T)为一个拓扑空间。

-例子：

-离散拓扑：设X是一个集合，T=P(X)（X的幂集，即X的所有子集组成的集合），则(X,T)是一个拓扑空间，称为离散拓扑空间。

-平凡拓扑：设X是一个集合，T={?,X}，则(X,T)是一个拓扑空间，称为平凡拓扑空间。

2.开集与闭集。

-开集：在拓扑空间(X,T)中，T中的元素称为开集。

-闭集：集合A是拓扑空间(X,T)中的闭集当且仅当X-A是开集。

-性质：

-空集?和X既是开集又是闭集（在任何拓扑空间中）。

-开集的任意并集是开集，闭集的任意交集是闭集。

-开集的有限交集是开集，闭集的有限并集是闭集。

3.邻域。

-定义：设(X,T)是一个拓扑空间，x∈X。如果存在开集U∈T，使得x∈U?N，则称N是x的一个邻域。

-性质：

-一个集合是开集当且仅当它是其每个点的邻域。

二、拓扑空间中的连续映射。

1.连续映射的定义。

-设(X,T?)和(Y,T?)是两个拓扑空间，f:X→Y是一个映射。如果对于Y中的任意开集V∈T?，f?1(V)（V在f下的原像）是X中的开集（即f?1(V)∈T?），则称f是连续映射。

2.连续映射的等价定义。

-对于X中的任意一点x和任意邻域N(f(x))（f(x)在Y中的邻域），存在x在X中的邻域M，使得f(M)?N(f(x))。

-对于Y中的任意闭集C，f?1(C)是X中的闭集。

三、拓扑空间的基与子基。

1.基的定义。

-设(X,T)是一个拓扑空间，B是T的一个子集族。如果对于任意的U∈T以及任意的x∈U，存在B中的元素B，使得x∈B?U，则称B是拓扑T的一个基。

2.基的性质。

-设B是集合X的一个子集族，B是X上某个拓扑的基当且仅当：

-对于任意x∈X，存在B∈B，使得x∈B。

-如果B?,B?∈B且x∈B?∩B?，则存在B?∈B，使得x∈B??B?∩B?。

3.子基的定义。

-设(X,T)是一个拓扑空间，S是T的一个子集族。如果S中元素的有限交的全体构成的集合是T的一个基，则称S是T的一个子基。

四、拓扑空间的连通性。

1.连通空间的定义。

-拓扑空间(X,T)称为连通的，如果X不能表示为两个非空的、不相交的开集的并集。

2.连通性的等价定义。

-拓扑空间(X,T)称为连通的，如果X不存在既开又闭的非空真子集。

3.连通子集。

-设Y是拓扑空间(X,T)的一个子集，Y作为(X,T)的子空间是连通的，则称Y是X的一个连通子集。

-性质：

-如果Y是拓扑空间X的连通子集，Z是X的子集，且Y?Z?ˉY（Y的闭包），则Z是连通的。

五、拓扑空间的紧致性。

1.紧致空间的定义。

-设(X,T)是一个拓扑空间，如果对于X的任意开覆盖{U_α}_α∈Lambda（即X=bigcup_α∈LambdaU_α，U_α是开集），存在Lambda的有限子集Lambda_0，使得X=bigcup_α∈Lambda_{0}U_α，则称(X,T)是紧致空间。

2.紧致子集。

-设Y是拓扑空间(X,T)的一个子集，Y作为(X,T)的子空间是紧致的，则称Y是X的一个紧致子集。

-性质：

-紧致空间中的闭子集是紧致的。

-连续映射下，紧致空间的像也是紧致的。