2025年湖南省长沙市芙蓉区长沙铁路一中高考数学一模试卷（含答案）.docx

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2025年湖南省长沙市芙蓉区长沙铁路一中高考一模

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设θ是锐角，cos(θ+π4)=cos

A.2+1 B.2+12

2.已知圆x2+y2?2x+2y+a=0截直线x+y?4=0所得弦的长度小于6，则实数

A.(2?17,2+17) B.(2?

3.已知平面向量a，b均为单位向量，且夹角为60°，若向量c与a，b共面，且满足a?c=b?

A.1 B.233 C.

4.某城市随机选取n个人参加活动，假设该城市人口年龄分布均匀，要使得参加该活动有人生肖相同的概率大于50%，则至少需要选取(????)个人．

A.3 B.4 C.5 D.6

5.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有(????)

A.168种 B.156种 C.172种 D.180种

6.已知过抛物线C：y2=2px(p0)的焦点F且倾斜角为π4的直线交C于A，B两点，M是AB的中点，点P是C上一点，若点M的纵坐标为1，直线l：3x+2y+3=0，则P到C的准线的距离与P到l的距离之和的最小值为

A.31326 B.51326

7.已知函数f(x)满足f(x)=f′(π3)sinx?cosx，求f(x)在x=π

A.2+1 B.2?1 C.

8.图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成.可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上.研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥(如图3)，且平面ABCD与平面ATBS的夹角为45°，则cos∠ASB=(????)

A.22 B.32 C.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数f(x)满足对任意x∈R，都有f(x+1)+f(x2+2x)=2，则

A.f(1+52)=1 B.f(x)可能是增函数

10.已知函数f(x)=sinωx+acosωx(ω0)的最大值为2，其部分图象如图所示，则(????)

A.ω=1

B.函数y=f(x?π4)为偶函数

C.y=f(x)在[0,m]上有4个零点，则13π4≤m17π4

11.已知点A(?2,0)，B(1,0)，圆C：x2+y2

A.圆M：x2+(y?1)2=1与圆C公共弦所在直线的方程为3x?y=0

B.直线y=k(x?3)与圆C总有两个交点

C.圆C上任意一点M都有|MA|=2|MB|

D.b是a，c的等差中项，直线l：ax+2by+c=0与圆C交于P，Q两点，当

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在等差数列{an}中，数列{an}的前n项和为Sn，S7=28

13.若一个正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为{1,3,2}，且该三棱台的所有顶点都在球O的表面上，则球O

14.已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,0φπ2),f(0)=12

单调递增，[π3,π2

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3asinC?ccosA?c=0．

(1)求A；

(2)若a=4，则△ABC面积为23

16.(本小题12分)

已知等比数列{an}满足a1+a2=3，a4+a5=24．

(1)求{

17.(本小题12分)

已知函数f(x)=lnx?2x．

(1)求函数f(x)的最大值；

(2)若不等式f(x)≤(a?2)x+2在(0,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AD=DC=2，AB=4，△PBD为等边三角形，且平面PBD⊥平面ABCD．

(1)作出点B在平面PAD的射影E，并证明；

(2)求平面PAB与平面PAD的夹角的余弦值．

19.(本小题12分)

某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月(按60天计算)每天下午6点前这