2025北京昌平一中九年级（下）开学考数学（教师版）.docx

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2025北京昌平一中初三（下）开学考

数学

一、选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.下列巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A. B. C. D.

2.若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（）

A.2 B.4 C. D.

3.抛物线的对称轴是（）

A. B. C. D.

4.如图，是的直径，点在的延长线上，切于点，如果，，那么的长是（）

A. B. C. D.

5.点，在抛物线上，则，的大小关系是（）

A. B. C. D.无法判断

6.为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩，也可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为，若，则此时云梯顶端离地面的高度的长是（）

A. B. C. D.

7.我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为万辆，2024年7月新能源汽车销量约为万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是（）

A. B.

C. D.

8.如图，已知及外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论：

①点A是的中点；

②直线，都是的切线；

③点P到点Q、点R的距离相等；

④连接，，，，，则．

对上述结论描述正确的是（）

A.只有①正确 B.只有②正确 C.①②③正确 D.①②③④都正确

二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分）

9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．

10.分解因式：__________．

11.已知二次函数满足条件：①有最大值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式________________．

12.如图，D、E是边、上的两点，且，，那么___________．

13.图1为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2，其液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为_____________．

14.如图，是的直径，，是的切线，切点分别为，．若，，则的长是__________．

15.小明看到公园地面上有一个心形封闭图形，为了研究图形的面积，设计了一项试验：在图形外部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下：

掷石子的总次数

50

100

200

500

…

石子落在图形内的次数

15

43

80

201

…

石子落在阴影部分的次数

35

57

120

299

…

随着投掷次数的不断增多，石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为______；由此估计图形的面积为______平方米．

16.如图，在平面直角坐标系中，已知点，其中，抛物线经过点和，以下四个结论：

①；②；③关于的一元二次方程无实根；④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则．其中所有正确结论的序号是_________．

三、解答题（本题共12小题，共68分．第17-22题各5分；第23-26题各6分；第27-28题各7分．）

17.计算：．

18.解不等式组：

19.关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围．

20.如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点A、B作．．和交于点E．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）连接，当．时，求的值．

21.我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度．

22.在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．

（1）求该函数的解析式；

（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围．

23.如图，在中，．

求作：射线，使得．

小靖同学的作法如下：

①以点为圆心，长为半径画圆，延长交于点；

②作的角平分线交于点；

③作射线．

所以射线即为所求．

请你依据小靖同学设计的尺规作图过程，完成下列问题：

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明

证明：连接，，点在上．

是的直径，______（______）（填推理依