期中综合复习专题01 导数的概念及运算（解析版）.docxVIP

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期中综合复习专题01导数的概念及运算

知晓结构体系

1夯实必备知识

知识点1导数的概念

1．平均变化率

对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．

2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．

3.瞬时变化率的主要步骤

(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．

(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.

(3)得平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f?x2?－f?x1?,x2－x1).

(4)得瞬时变化率eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).

4.导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

5.函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．

知识点2导数的运算

1.基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f(x)＝c(c为常数)

f′(x)＝0

f(x)＝xn(n∈Q*)

f′(x)＝nxn－1

f(x)＝sinx

f′(x)＝cos_x

f(x)＝cosx

f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax(a0且a≠1)

f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex

f′(x)＝ex

f(x)＝logax(x0，a0且a≠1)

f′(x)＝eq\f(1,xlna)

f(x)＝lnx(x0)

f′(x)＝eq\f(1,x)

2.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．

(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．

知识点3求曲线“在”与“过”某点的切线

1.求曲线“在”某点处的切线方程步骤

第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率

第二步（写方程）：用点斜式

第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。

2.求曲线“过”某点处的切线方程步骤

第一步：设切点为；

第二步：求出函数在点处的导数；

第三步：利用Q在曲线上和，解出及；

第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．

2提升学科能力

一、题点一平均变化率

【典例分析1】

1．函数在区间上的平均变化率为（????）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】

直接利用平均变化率的定义求解.

【详解】

设，则函数在区间上的平均变化率为．

故选：A.

2．若一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则在时间段上的平均速度是多少？

【答案】

【分析】由平均速度的计算公式可得答案.

【详解】，，

所以，

所以平均速度是.

【变式训练1】

1．函数在区间上的平均变化率为．

【答案】

【分析】利用平均变化率的概念和公式运算即可得解.

【详解】解：由题意可得平均变化率为：

．

故答案为：

2．已知一质点的运动方程为，则该质点在一段时间内的平均速度为．

【答案】

【分析】利用平均速度定义即可求得该质点在一段时间内的平均速度.

【详解】则该质点在一段时间内的平均速度为

故答案为：

二、题点二瞬时变化率

【典例分析2】

1．在某场世界一级方程式锦标赛中，赛车位移单位：与比赛时间单位：的关系是求：

(1)，时的与

(2)时的瞬时速度．