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2025年高考第三次模拟考试

高三数学（上海卷）01·参考答案

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．

2．

3．

4．

5．

6．

7．

8．

9．

10．

11．3.7

12．②④

二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)

13

14

15

16

C

B

A

A

三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)

17．（1）由正方形，得，而平面，平面，则平面，

又，平面，平面，则平面，(2分)

又平面，因此平面平面，而平面，

所以平面.(6分)

（2）由平面，且四边形为正方形，得直线两两垂直，

以B为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

??

令，则，

，(8分)

设平面的法向量，则，取，得，

设平面的法向量，则，取，得，

(10分)

设二面角的大小为，则，，

所以二面角的正弦值为.(14分)

18．（1）∵函数的定义域为，

又∵

∴①当时，即时，可得

即当时，函数为偶函数；(3分)

②当时，即时，可得

即当时，函数为奇函数.(6分)

（2）由（1）可得，当函数为偶函数时，，

即时，

由题可得，

令，则有

∵

∴，

又∵，当且仅当时，等号成立

根据对勾函数的性质可知，，即

①

此时的取值不存在；

②

此时，可得的取值为

综上可得(14分)

19．（1）根据数据补全列联表如下：

不达标

达标

合计

男

50

250

300

女

100

200

300

合计

150

450

600

零假设体育锻炼达标与性别无关，

由表格数据得，

因为，

所以推断不成立，依据显著性水平的独立性检验能认为体育锻炼达标与性别有关.(3分)

（2）由表格数据该地区居民体育达标的概率为，

记事件“从该地区居民中随机抽取1人参加体能测试，其体能测试合格”，

则由题.(6分)

（3）由题意，当地居民人口基数大，可近似看做二项分布，即，

所以；；

；；

所以X的分布列为：

X

0

1

2

3

P

则；.

(14分)

20．（1），为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点，

，从而的周长为．

由题意，得，即的周长为.(4分)

（2）由题意可设过的直线方程为，

联立，消去x得，

则，

所以，

令，

则（当时等号成立，即时）

所以,

故面积的取值范围为.(10分)

（3）设，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得，

整理可得，

则，得，，

故．

当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得，

同理，可得，

因为，

所以

，

当且仅当时，等号成立.

若轴时，易知，，，

此时，

综上，的最大值为.(18分)

21．（1）（1）函数是区间上的“平均值函数”，

不是区间上的“平均值函数”，理由如下：

由题题意，得，则，所以函数是区间上的“平均值函数”；

，即，

所以，无解，所以不是区间上的“平均值函数”；

(4分)

（2）因为是区间上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，

所以，

即，显然不成立，

所以，因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得，

又所求的为整数对，故或或或.(10分)

（3）由题意可得，则所证不等式为，

需证，令，则不等式为，

则不等式等价于，

令，求导得，

所以在上单调递减，所以，

即，即.(18分)