北航数分大作业一.docxVIP

一、算法的设计方案

1、求λ1、λ501和λ

可采用幂法及反幂法进行相关特征值的计算。用幂法算出矩阵A按模最大的特征值记为λa。此时有：（1）若λa0，则λa即为矩阵A的最小特征值，也就是λ1=λa。此时若假定矩阵B=A-λa?I，则B的特征值≥0,对矩阵B再应用幂法求得按模最大的特征值必为，则；（2）若0，则即为矩阵A的最大特征值，，同理可得到。而直接矩阵A进行反幂法的计算可以得到

（1）用幂法算出A按模最大的特征值λa

（2）用幂法算出A-λa

（3）比较λa与的大小，大者为，小者为；

（4）用反幂法算出A按模最小的特征值。

2、求A的与数最接近的特征值（k=1,2,3，…，39）。

求A与最接近的特征值的方法与求A按模最小的特征值的方法相似，不过此时需要先对矩阵A进行“平移”：

对k=1,2,3，…，39执行

（1）；

（2）对A-I使用反幂法，求得A-I按模最小的特征值；

（3）求A与最接近的特征值

3、求A的条件数cond（A）2和行列式detA。

因为实对称A为非奇异矩阵，所以由定义可知cond（A）2，而式中的第一问的算法中均已求出，直接带入计算即可。

矩阵A为带状矩阵，对其进行Doolittle分解得A,，而detA的大小即为这种形式下对角线的乘积，也即为对角线上各数的乘积。

二、源程序

#includestdio.h

#includeiostream.h

#includestdlib.h

#includemath.h

#includefloat.h

#includeiomanip.h

/*****************全局变量、函数声明*************/

#defineN501

#defineEPSI1.0e-12

#definer2

#defines2

double c[5][N]; /*A非零元素的压缩存储矩阵*/

doublefuzhi(); /*对A赋值函数*/

voidLUDet(); /*利用LU分解求解矩阵A的行列式*/

intint_max2(inta,intb); /*求两个数字中最大值的*/

intint_min2(inta,intb); /*求两个数字中最小值的*/

intint_max3(inta,intb,intc);/*求三个数字中最大值的*/

doublemifa(); /*幂法计算矩阵A按模最大的特征值*/

doublefmifa(); /*反幂法求矩阵A按模最大的特征值*/

//*主程序*//

voidmain()

{inti;

/*利用幂法计算矩阵A的最大特征值和最小特征值*/

doublea1,a2;

fuzhi();

a1=mifa();

if(a10)

cout矩阵A最小的特征值lambda1：endl;

elseif(a1=0)

cout矩阵A最大的特征值lambda501：endl;

coutsetiosflags(ios::scientific)

setprecision(12)a1endl;

for(i=0;iN;i++)

for(i=0;iN;i++)

c[2][i]=c[2][i]-a1;

a2=mifa()+a1;

if(a20)

cout矩阵A最小的特征值lambda1：endl;

elseif(a2=0)

cout矩阵A最大的特征值lambda501：endl;

coutsetiosflags(ios::scientific)

setprecision(12)a2endl;

/*利用反幂法计算矩阵A的按模最小特征值*/

doublea3;

fuzhi();

a3=fmifa();

cout矩阵A按模最小的特征值lambdas:endl;

coutsetiosflags(ios::scientific)

setprecision(12)a3endl;

/*计算最接近特征值*/

fuzhi();

doubleu[39]={0};

cout与数uk最接近的特征值：endl;

for(i=0;i39;i++)

{

u[i]=a1+(i+1)*(a2-a1)/40;

c[2][i]=c[2][i]-u[i];

u[i]=fmifa()+u[i];

coutlambda

[ik](i+1) ;

coutu[i]endl;

}

/*计算矩阵A的条件数，取2范数*/

doublecond_A;

if(a10)

cond_A=fabs(a1/a3);

elseif