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《复变函数论》课程大纲

课程编码：1908343111课程名称：复变函数论

英文名称：ComplexVariable

课程类型：□通识教育课程□学科基础教育课程?专业教育课程课程性质：?必修□方向□选修总学时数：48学时（授课48学时）总学分数：3适用专业：数学与应用数学开课学期：第4学期开课学院/部(室/所/其他）：数学与统计学院一、课程地位与作用

复变函数论是数学与应用数学专业学生开设的一门专业教育必修课程，对学生专业课程的学习至关重要。本课程既是数学分析的延续，也为学生学习概率论、微分方程、实变函数、泛函分析、大学物理等课程奠定了基础。通过本课程的学习使学生学会分析的方法，培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。

课程目标

通过本课程的教学和系统的训练，实现下列目标：

掌握复数、复变函数的概念；掌握复数各种表示方法及其运算(扼要讲述)；了解区域的概念；理解复变函数的极限和连续的概；

理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；掌握复变函数解析的充要条件；了解指数函数、三角函数、双曲函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质(包括在单值区域中的解析性)；

了解复变函数积分的定义及性质，会求复变函数的积分；理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式；掌握解析函数的高阶导数公式(证明不作要求),了解解析函数无限次可导的性质；

理解复数项级数收敛，发散及绝对收敛等概念；了解幂级数收敛的概念，会求幂级数的收敛半

径；了解幂级数在收敛圆内的一些基本性质；理解泰勒定理(证明不作要求)；理解下列基本初等函数ez,sinz,cosz,ln(1z)，(1z)n的麦克劳林展开式，并会利用它们将简单的解析函数展开为幂级数；

理解双边幂级数的概念；理解洛朗级数与泰勒级数的关系；理解洛朗(Laurent)定理(证明不作要求)；用间接方法将简单的解析函数在其孤立奇点附近展开为洛朗级数；

理解留数概念，掌握极点处留数的求法；掌握留数定理；

培养反思及自主学习能力，提高学生建立数学模型的能力，为学生学习后继课程打下扎实的基础。

课程目标支撑毕业要求

课程目标

毕业要求1

毕业要求2

毕业要求3

毕业要求4

毕业要求5

毕业要求6

毕业要求7

毕业要求8

目标1

√

目标2

√

目标3

√

目标4

√

课程教学内容与基本要求

第一章复数与复变函数(支撑课程目标1、2、3、4、5、6、7)参考课时：8学时（讲授6学时、习题课2学时）

教学目标：掌握复数、复变函数的概念；掌握复数各种表示方法及其运算(扼要讲述)；了解区域的概念；理解复变函数的极限和连续的概念。

教学内容：复数：复数域、复平面、复数的模与辐角、复数的乘幂与方根、共轭复数、复数在几何上的应用举例；复平面上的点集：平面点集的几个基本概念、区域与若尔当曲线；复变函数：复变函数的概念、复变函数的极限与连续性；复球面与无穷远点：复球面、扩充复平面上的几个概念。

学习重点：复数的各种表示法及其运算，复变函数的概念。

学习难点：复数在几何上的应用举例。

第二章解析函数(支撑课程目标1、2、3、4、5、6、7)参考课时：6学时（讲授4学时、习题课2学时）

教学目标：理解复变函数的导数及复变函数解析的概念；掌握复变函数解析的充要条件；了解指数

函数、三角函数、双曲函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质(包括在单值区域中的解析性)。

教学内容：解析函数的概念与柯西-黎曼方程；初等解析函数；初等多值函数。

学习重点：解析函数的概念与柯西-黎曼方程、复变函数解析的充要条件。

学习难点：初等多值函数的计算。

第三章复变函数的积分(支撑课程目标1、2、3、4、5、6、7)参考课时：8学时（讲授6学时、习题课2学时）

教学目标：了解复变函数积分的定义及性质，会求复变函数的积分；理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式；掌握解析函数的高阶导数公式(证明不作要求),了解解析函数无限次可导的性质。

教学内容：复积分的概念及其简单性质；柯西积分定理；柯西积分公式及其推论；解析函数与调和函数的关系。

学习重点：复变函数积分概念，复变函数积分的计算。

学习难点：柯西积分定理。

第四章解析函数的幂级数表示法(支撑课程目标1、2、3、4、5、6、7)参考课时：10学时（讲授8学时、习题课2学时）

教学目标：理解复数项级数收敛，发散及绝对收敛等概念；了解幂级数收敛的概念，会求幂级数的

收敛半径；了解幂级数在收敛圆内的一些基本性质；理解泰勒定理(证明不作要求)；理解下列基本函数ez,sinz,cosz,ln(1z)，(1z)n的麦克劳林展开式，并会利用它们将简单的解析函数展开为幂级数。

教学内容：幂级数的基本性质；幂级数；解析函数的泰勒展开式；解析函数零点的孤立性及唯一性定理