2024_2025学年新教材高中数学课后落实29利用函数性质判定方程解的存在性含解析北师大版必修第一册.docVIP

PAGE

PAGE3

利用函数性质判定方程解的存在性

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．函数f(x)＝2x2－4x－3的零点有()

A．0个 B．1个

C．2个 D．不能确定

C[由f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝400.所以方程2x2－4x－3＝0有两个根，即f(x)有两个零点．]

2．函数f(x)＝4x－2x－2的零点是()

A．(1,0) B．1

C．eq\f(1,2) D．－1

B[由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1.]

3．已知函数f(x)＝eq\f(6,x)－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,4) D．(4，＋∞)

C[由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝eq\f(6,4)－log24＝eq\f(3,2)－2＝－eq\f(1,2)＜0.由零点存在定理可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．]

4．函数f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零点的个数是()

A．0 B．1

C．2 D．3

C[如图，画出y＝lnx与y＝eq\f(1,x－1)的图象，由图知y＝lnx与y＝eq\f(1,x－1)(x0，且x≠1)的图象有两个交点．

故函数f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零点有2个．]

5．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连绵不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上()

A．至少有一实数根 B．至多有一实数根

C．没有实数根 D．必有唯一的实数根

D[由题意知函数f(x)为连续函数．∵f(a)·f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.]

二、填空题

6．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．

－3[设函数f(x)的两个零点为x1，x2，依据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－eq\f(2a,a)＝－2.又因为x1＝1，所以x2＝－3.]

7．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是________．

3[由题意可知，函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数．如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象．

由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点．]

8．若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是________．

(1，＋∞)[f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，需f(1)＝m－10，即m1.]

三、解答题

9．推断下列函数是否存在零点，假如存在，恳求出．

(1)f(x)＝eq\f(x＋3,x)；

(2)f(x)＝x2＋2x＋4.

[解](1)令f(x)＝0即eq\f(x＋3,x)＝0，故x＝－3.

所以函数f(x)＝eq\f(x＋3,x)的零点是－3.

(2)令f(x)＝0，即x2＋2x＋4＝0，因为Δ＝4－4×4＝－120，所以此方程无解，故函数f(x)＝x2＋2x＋4无零点．

10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？

[解]有解．因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－eq\f(1,2)0，f(0)＝20－02＝10，

且函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，

所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．

11．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是()

A．a0 B．a≤0

C．a≥0 D．a0

B[函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.]

12．(多选)下列说法中正确的是()

A．f(x)＝x＋1(x∈[－2,0])的零点为(－1,0)

B．f(x)＝x＋1(x∈[－2,0])的零点为－1

C．函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点

D．函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标

BD[依据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1(x∈[－2,0])的零点为－1；函数y＝f(x)的零点即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法BD正确，AC错误．]

13．