《非均匀有理B样条》课件：探索曲线与曲面的精确表示.pptVIP

非均匀有理B样条（NURBS）：探索曲线与曲面的精确表示欢迎来到《非均匀有理B样条》课程。本课程将深入探讨计算机辅助几何设计中最强大的数学工具之一——NURBS技术。我们将从基础知识开始，逐步深入复杂应用，帮助您掌握这一在现代工业设计、动画制作和科学可视化中不可或缺的技术。

课程概述基础知识参数化表示，曲线与曲面理论B样条基础基函数，曲线与曲面表示有理B样条权重概念，几何意义NURBS应用算法实现，工业案例本课程将系统讲解非均匀有理B样条（NURBS）的理论基础、构造方法和实际应用。通过学习，您将能够理解NURBS的数学原理，掌握其在计算机辅助设计中的应用技巧，并能独立进行复杂曲线曲面的精确建模。

第一部分：基础知识数学基础线性代数、微积分与计算几何的基本概念曲线理论参数化曲线的表示方法与特性曲面理论张量积表面与双变量函数几何连续性曲线曲面的连续性条件与光滑度要求在深入学习NURBS之前，我们需要先建立坚实的几何设计基础知识。这一部分将介绍参数化表示的概念，探讨不同类型的曲线和曲面表示方法，以及它们各自的优缺点。

计算机辅助几何设计简介120世纪60年代早期CAD系统出现，主要用于二维绘图220世纪70年代Bézier曲线与B样条引入工业设计320世纪80年代NURBS技术兴起，实现精确几何表示421世纪参数化设计与智能建模系统广泛应用计算机辅助几何设计（CAGD）是计算机辅助设计与制造（CAD/CAM）的核心基础。自20世纪60年代以来，该领域经历了从简单二维绘图到复杂三维建模的革命性发展。

曲线和曲面表示方法概述显式表示以y=f(x)或z=f(x,y)形式表示，直观但功能有限表达简单，易于理解难以表示多值函数受坐标系选择影响大隐式表示以F(x,y,z)=0形式表示，适合描述代数曲面适合表示闭合曲面便于判断点是否在曲面上难以直接生成曲面上的点参数化表示以P(u)或P(u,v)形式表示，最为灵活易于计算曲线/曲面上的点不受坐标系限制适合计算机实现和处理在计算机辅助几何设计中，曲线和曲面的表示方法主要分为三类：显式表示、隐式表示和参数化表示。每种表示方法都有其特定的应用场景和优势。

参数化表示的优势几何灵活性可以表示任意复杂的形状，不受函数性质限制数学精确性能够精确表示圆、椭圆等常见几何体计算效率易于在计算机中实现，支持高效的点采样和渲染直观编辑通过控制点操作实现形状修改，符合设计师思维参数化表示在计算机辅助几何设计中具有显著优势。它能够绕过显式表示中的多值问题，允许曲线在任何方向上自由延伸，而不受特定坐标轴的限制。

第二部分：B样条基础控制点定义曲线形状的关键点集节点向量决定参数空间划分和基函数定义基函数构造曲线的局部支撑函数B样条曲线由控制点和基函数生成的平滑曲线B样条是NURBS的基础，理解B样条是掌握NURBS的关键一步。在这一部分中，我们将探讨B样条的数学定义、基本性质以及几何意义。

B样条的定义控制点B样条由一组有序的控制点{P?,P?,...,P?}定义，这些点形成控制多边形，影响但不必通过曲线。控制点可以是二维或三维空间中的点，决定了曲线的大致形状和方向。节点向量节点向量U={u?,u?,...,u?}是一组非递减的实数序列，定义参数域的划分。节点的分布决定了基函数的形状，进而影响曲线的参数化和形状特性。均匀节点向量中节点等距分布，非均匀节点向量则间距可变。B样条是一种由控制点和节点向量共同定义的参数化曲线。其数学表达式为：C(u)=∑????P?·N?,?(u)

B样条基函数1三阶基函数C2连续，工程应用最常用2二阶基函数C1连续，形成分段二次曲线3一阶基函数C?连续，形成分段线性函数4零阶基函数分段常数函数，定义基础B样条基函数通过递归定义，零阶基函数为分段常数函数：N_{i,0}(u)=1，如果u_i≤uu_{i+1}；否则为0高阶基函数通过递推公式定义：N_{i,p}(u)=\frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}N_{i,p-1}(u)+\frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}N_{i+1,p-1}(u)

B样条曲线数学表达式C(u)=∑????P?·N?,?(u),u∈[u?,u???]控制点作用决定曲线的大致形状，但曲线通常不通过控制点参数范围有效参数区间为[u?,u???]，对应首尾端点阶数影响阶数p决定曲线的连续性为C^(p-1)，阶数越高曲线越光滑节点影响节点的分布影响参数化和局部形状控制B样条曲线是由一组控制点和基函数线性组合得到的参数化曲线。每个控制点通过相应的基函数影响曲线的形状，而基函数的局部支撑性质确保了控制点只影响曲线的一部分。

B样条曲线的性质局部修改性移动一个控制点只影响部分