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双曲线

知识点一：双曲线的定义:

在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.

注意：

1.双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；

2.若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；

3.若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；

4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；

5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。

知识点二：双曲线与的简单几何性质

标准方程

图形

性质

焦点

，

，

焦距

范围

，

，

对称性

关于x轴、y轴和原点对称

顶点

轴长

实轴长=，虚轴长=

离心率

渐近线方程

1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长

2.等轴双曲线:当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为

3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）

4.焦点三角形的面积，其中

5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.

6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:

7.椭圆、双曲线的区别和联系：

椭圆

双曲线

根据|MF1|+|MF2|=2a

根据|MF1|－|MF2|=±2a

a＞c＞0，

a2－c2=b2（b＞0）

0＜a＜c，

c2－a2=b2（b＞0）

，

（a＞b＞0）

，

（a＞0，b＞0，a不一定大于b）

典型例题1、已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（?）

A．

B．

C．

D．

试题分析：由题意可知?，因为渐近线方程为?

所以渐近线的方程为?

已知分别是双曲线的左右焦点，过做垂直于轴的直线交双曲线于两点，若为钝角三角形，则双曲线的离心率的范围是

A．

B．

C．

D．

试题分析：由题意为钝角三角形，则,所以,又，，所以，所以，所以．

考点：双曲线离心率．

3、已知双曲线?（a0，b0）的一条渐近线为，则它的离心率为（????）

A．

B．

C．

D．

试题分析：由已知得，又在双曲线中有，

所以得到；

故选A．

若双曲线的两准线间的距离是焦距的，则双曲线的离心率为_________.

试题分析：双曲线的两准线的距离为：，两焦点间的距离为：，根据题意可由：化简为：解得：，所以答案为：.

5、双曲线的离心率???????．

试题分析：双曲线即为，其中

6、如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（???）

A．4?

B．?

C．

?

D．?

试题分析：因为为等边三角形，不妨设，为双曲线上一点，，为双曲线上一点，则，，

由，则，在中应用余弦定理得：，得，则

7、设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（??）

A．

B．

C．

D．

试题分析：的一条渐近线方程与抛物线只有一个公共点，把代入中，得，由，，则

8、过双曲线的右焦点F2的一条弦PQ，|PQ|=7，F1是左焦点，那么△F1PQ的周长

为（????）

A．18

B．

C．

D．

试题分析：可化为；由双曲线的定义，得的周长为

.

9、双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_________．

试题分析：双曲线的顶点为，渐近线方程为，即；则顶点到其渐近线的距离为.

10、双曲线的离心率，则的取值范围是（??）

A．

B．

C．

D．

试题分析：由题意知，又，∴，∴.

11、双曲线的实轴长是（?）

A．2

B．2

C．4

D．4

试题分析：双曲线方程可变形为，所以.

12、双曲线：的渐近线方程是（??）

A．

B．

C．

D．

试题分析：由双曲线的渐近线方程的公式可知的渐近线方程是．

13、斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是?（?????）

A．

B．

C．

D．

试题分析：如图,要使斜率为的直线过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需即可,从而有所以有离心率,故选D.

14、过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（?）

A．

B．

C．

D．

试题分析：双曲线的焦点在y轴上，通过双曲线的图象与性质可知当直线与双曲线有两交点时直线的斜率k1或k-1，因此答案选B。

15、设为常数，若点F（5,0）是双曲线的一个焦点，则=???????．

试题分析：直接由点F（5,0）是双曲线的一个焦点及可得，，解得．

16、已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线