2025北京北师大实验中学高三（下）开学考数学（教师版）.docx

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2025北京北师大实验中学高三（下）开学考

数学

2025．2

本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.设全集，集合，则（）

A. B.

C. D.

2.在复平面内，复数对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）

A. B. C. D.

4.已知点在抛物线：上，则到的准线的距离为（）

A. B. C. D.

5.2022年10月31日，长征五号B遥四运载火箭带着中华民族千百年来探索浩瀚宇宙的梦想，将中国空间站梦天实验舱准确送入预定轨道在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：t）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：t）的关系满足，M，m，v之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（）

A.当时， B.当时，

C.当时， D.当时，

6.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（）

A. B. C. D.

7.已知直线与圆相交于两点，当变化时，△的面积的最大值为（）

A. B. C. D.

8.设为非零向量，，则“夹角为钝角”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

9.深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：，其中，L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为，衰减速度为．经过轮迭代学习时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下所需要的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：）

A. B. C. D.

10.已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（）

A. B. C. D.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11.在的展开式中，的系数为__________用数字作答

12.已知数列是首项为3，公比为的等比数列，是其前项的和，若，则___________；___________.

13.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为________.

14.已知分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于两点（点A在第一象限），延长交于点，若，则双曲线的离心率为_________．

15.设是正整数，且，数列满足：，，，数列的前项和为.给出下列四个结论：①数列为单调递增数列，且各项均为正数；②数列为单调递增数列，且各项均为正数；③对任意正整数，，；④对任意正整数，.其中，所有正确结论的序号是__________.

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．

（1）求的面积；

（2）求边长及的值．

17.如图，在四棱锥中，平面为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知.

条件①：；条件②：.

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离；

（3）已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.

18.某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；

（2）在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望；

（3）在（2）抽取的3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小.（直接写结果）

19.已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点．

（1）求椭圆的方程和焦距；

（2）已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q不在坐标轴上），且直线PQ与x轴平行，线段的垂直平分线与y轴交于点，圆在点处的切线与y轴交于点．求线段长度的最小值．

20.已知函数.

（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（2）求集合中元素的个数；

（3）当时，问函数有多少个极值点？（只需写出结论）

21.有限数列：，，…，．（）同时满足下列两个条件：

①对于任意的，（），；

②对于任意的，，（），