2025北京朝阳高三2月六校联考数学（教师版）.docx

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2025北京朝阳高三2月六校联考

数学

2025.2

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合,则

(A) (B) (C) (D)

（2）已知复数,则

(A) (B) (C) （D）

（3）在的展开式中项的系数为

（A）（B）（C）（D）

（4）已知直线与圆相交于两点,且为等腰直角三角

形，则实数的值为

（A） （B）（C） （D）

（5）下列函数中,以为周期,且在区间（）上单调递增的是

（A）（B） （C）（）（D）

若非零向量满足，且向量与向量的夹角是，则

的值为

（A） （B）（C）（D）

（7）已知等比数列的公比为,记,则“,且

”是“为递减数列”的

（A）充分不必要条 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（8）某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面

是边长为的正方形，，，，均为正三角形，且它们所

在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积为（????）

（A） （B） （C） （D）20

（9）已知是函数图象上两个不同的点，则下列个式子中正确的是

①；②；

③；④.

（A）①③ （B）②③ （C）①④ （D）②④

（10）已知函数,下列四个命题正确的序号是

①是偶函数；②；③当时,取得极小值；④满足的正整数n的最小值为9.

（A）①②③ （B）①③④ （C）①② （D）①②④

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）抛物线的焦点坐标是.

（12）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称.若，则的最小值为.

（13）若直线与双曲线的右支只有一个公共点，则双曲线离心率的一个取值为.

（14）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一．已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形内多余的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，……重复上述裁剪操作次，最终得到该剪纸．则第次裁剪操作结束后所得的面积为；第次操作后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为.

（15）不相同的数列与，且都不为常数数列，，给出下列个结论：

①若数列均为无穷等差数列且公差相等，则中可能恰有一个元素；

②若数列为递增数列，数列为递减数列，则中恰有一个元素；

③若数列为等差数列，为等比数列，则中至多有三个元素；

④若数列为公比不相等的等比数列，则中至多有两个元素。

其中所有错误结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

在中,已知.

（Ⅰ）求证:是钝角;

（Ⅱ）请从下面三个条件中选择两个作为已知,使存在且唯一确定,并求的面积.

;②;③.

注:如果选择的条件不符合要求,第(Ⅱ)问得分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.

（17）（本小题13分）

如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，平面平面，点为线段的中点，，直线与平面所成的角为.

（Ⅰ）若点为线段的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

（18）（本小题14分）

年国产动画电影《哪吒之魔童降世》自上映以来斩获亿票房，六年后，《哪吒之魔童闹海》震撼上映，再次掀起观影热潮，票房最终或达亿，刷新多项纪录，成为中国电影的骄傲。下图是两部电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比。其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）。

图1《哪吒之魔童降世》综合票房及占比

图2《哪吒之魔童闹海》综合票房及占比

（Ⅰ）从电影《哪吒之魔童闹海》上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房比前一天增多的概率；

（Ⅱ）从上映后的十三天中随机选取天，设为两部电影综合票房占比均超过％的天数，求的分布列及数学期望；

（Ⅲ）设《哪吒之魔童降世》及《哪吒之魔童闹海》两部电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）.

（19）（本小题